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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 23.06.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Abbildungen linear sind.
a) [mm] $\IR^2\to\IR [/mm] : [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x*y$
b) [mm] $\IR\to V^3: x\mapsto x*\textbf{a},\ [/mm] \ [mm] \textbf{a}\in V^3$
[/mm]
c) [mm] $V^3\to V^3: \textbf{x}\mapsto\textbf{x}+\textbf{t}\ [/mm] \ [mm] \textbf{t}\in V^3$
[/mm]
d) [mm] $\IR_{2,2}\to\IR: A\mapsto [/mm] |A|$ |
Hallo,
wäre nett wenn sich das mal jemand anschauen kann. Bin mir ein wenig unsicher ob ich korrekt an die Aufgabe rangegangen bin.
Ob eine lineare Abbildung vorliegt, zeigt man ja über die Homogenität ( [mm] $f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x)$ ) und Additivität ( $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ).
zu a)
Additivität:
[mm] $f(x)+f(y)=f\vektor{x_1\\x_2}+f\vektor{y_1\\y_2}=(x_1+y_1)*(x_2+y_2)=x_1x_2+x_1y_2+y_1x_2+y_1y_2\neq [/mm] f(x+y)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine lin. Abbildung
zu b)
Additivität:
[mm] $f(x)+f(y)=x*\textbf{a}+y*\textbf{a}=\textbf{a}(x+y)=f(x+y)$
[/mm]
Homogenität:
[mm] $f(\lambda x)=\lambda x*\textbf{a}=\lambda (x*\textbf{a})=\lambda [/mm] f(x)$
[mm] \Rightarrow [/mm] lin. Abbildung
zu c)
Additivität:
[mm] $f(x)+f(y)=f\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+f\vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{x_1+t_1\\x_2+t_2\\x_3+t_3}+\vektor{y_1+t_1\\y_2+t_2\\y_3+t_3}\neq\vektor{x_1+y_2\\x_2+y_2\\x_3+y_3}+\vektor{t_1\\t_2\\t_3}=f(x+y)$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] keine lin. Abbildung
zu d)
Additivität:
$f(A)+f(B)=|A|+|B|=|A+B|=f(A+B)$
Homogenität:
[mm] $f(\lambda A)=|A*\lambda|=\lambda^2|A|\neq\lambda|A|=\lambda [/mm] f(A)$
[mm] \Rightarrow [/mm] keine lin. Abbildung
Ich danke schonmal für Tipps.
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Hallo Trolli,
> Untersuchen Sie, ob die Abbildungen linear sind.
>
> a) [mm]\IR^2\to\IR : (x,y)\mapsto x*y[/mm]
> b) [mm]\IR\to V^3: x\mapsto x*\textbf{a},\ \ \textbf{a}\in V^3[/mm]
>
> c) [mm]V^3\to V^3: \textbf{x}\mapsto\textbf{x}+\textbf{t}\ \ \textbf{t}\in V^3[/mm]
Was ist [mm]V^3[/mm] ?
>
> d) [mm]\IR_{2,2}\to\IR: A\mapsto |A|[/mm]
> Hallo,
>
> wäre nett wenn sich das mal jemand anschauen kann. Bin mir
> ein wenig unsicher ob ich korrekt an die Aufgabe
> rangegangen bin.
>
> Ob eine lineare Abbildung vorliegt, zeigt man ja über die
> Homogenität ( [mm]f(\lambda x)=\lambda f(x)[/mm] ) und Additivität
> ( [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm] ). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu a)
> Additivität:
>
> [mm]f(x)+f(y)=f\vektor{x_1\\
x_2}+f\vektor{y_1\\
y_2}=(x_1+y_1)*(x_2+y_2)=x_1x_2+x_1y_2+y_1x_2+y_1y_2\neq f(x+y)[/mm]
Umgekehrt ist doch die Kette hier: linkerhand: [mm]f(x+y)[/mm], rechts [mm]\neq f(x)+f(y)[/mm] ...
Du kannst auch einfach 2 konkrete Vektoren [mm]x,y[/mm] als Gegenbsp. angeben ...
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine lin. Abbildung
>
> zu b)
> Additivität:
>
> [mm]f(x)+f(y)=x*\textbf{a}+y*\textbf{a}=\textbf{a}(x+y)=f(x+y)[/mm]
Gilt denn da nach dem zweiten "=" Kommutativität? Ist ax überhaupt definiert?
Nicht eher [mm]..=(x+y)a=f(x+y)[/mm] ?
> Homogenität:
> [mm]f(\lambda x)=\lambda x*\textbf{a}=\lambda (x*\textbf{a})=\lambda f(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] lin. Abbildung
>
> zu c)
> Additivität:
>
> [mm]f(x)+f(y)=f\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}+f\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}=\vektor{x_1+t_1\\
x_2+t_2\\
x_3+t_3}+\vektor{y_1+t_1\\
y_2+t_2\\
y_3+t_3}\neq\vektor{x_1+y_2\\
x_2+y_2\\
x_3+y_3}+\vektor{t_1\\
t_2\\
t_3}=f(x+y)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine lin. Abbildung
>
> zu d)
> Additivität:
> [mm]f(A)+f(B)=|A|+|B|=|A+B|=f(A+B)[/mm]
Nee, ich denke, mit [mm]|A|[/mm] ist [mm]det(A)[/mm] gemeint?!
Die Det. ist nicht additiv!
Bsp.: Sei [mm]\mathbb{E}[/mm] die Einheitsmatrix und [mm][/mm]0 die Nullmatrix.
Dann ist [mm]det(\mathbb{E})=det(-\mathbb{E})=1[/mm], also [mm]det(\mathbb{E})+det(-\mathbb{E})=2[/mm], aber [mm]det(\mathbb{E}+(-\mathbb{E}))=det(0)=0[/mm]
> Homogenität:
> [mm]f(\lambda A)=|A*\lambda|=\lambda^2|A|\neq\lambda|A|=\lambda f(A)[/mm]
Ja, homogen ist sie auch nicht!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine lin. Abbildung
>
>
> Ich danke schonmal für Tipps.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:05 Do 23.06.2011 | | Autor: | Trolli |
> Hallo Trolli,
>
>
> > Untersuchen Sie, ob die Abbildungen linear sind.
> >
> > a) [mm]\IR^2\to\IR : (x,y)\mapsto x*y[/mm]
> > b) [mm]\IR\to V^3: x\mapsto x*\textbf{a},\ \ \textbf{a}\in V^3[/mm]
>
> >
> > c) [mm]V^3\to V^3: \textbf{x}\mapsto\textbf{x}+\textbf{t}\ \ \textbf{t}\in V^3[/mm]
>
> Was ist [mm]V^3[/mm] ?
>
Hab letzte Woche einen neuen Prof. bekommen und er hat eine andere Schreibweise. Die Vektoren sind z.b. jetzt fett gedruckt. Hier mal die Def. von V: V ist linearer Raum oder Vektorraum über dem (Grund-) Körper [mm] \IK.
[/mm]
> >
> > d) [mm]\IR_{2,2}\to\IR: A\mapsto |A|[/mm]
> > Hallo,
> >
> > wäre nett wenn sich das mal jemand anschauen kann. Bin mir
> > ein wenig unsicher ob ich korrekt an die Aufgabe
> > rangegangen bin.
> >
> > Ob eine lineare Abbildung vorliegt, zeigt man ja über die
> > Homogenität ( [mm]f(\lambda x)=\lambda f(x)[/mm] ) und Additivität
> > ( [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm] ).
> >
> > zu a)
> > Additivität:
> >
> > [mm]f(x)+f(y)=f\vektor{x_1\\
x_2}+f\vektor{y_1\\
y_2}=(x_1+y_1)*(x_2+y_2)=x_1x_2+x_1y_2+y_1x_2+y_1y_2\neq f(x+y)[/mm]
>
> Umgekehrt ist doch die Kette hier: linkerhand: [mm]f(x+y)[/mm],
> rechts [mm]\neq f(x)+f(y)[/mm] ...
>
> Du kannst auch einfach 2 konkrete Vektoren [mm]x,y[/mm] als
> Gegenbsp. angeben ...
Danke für den Hinweis.
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] keine lin. Abbildung
> >
> > zu b)
> > Additivität:
> >
> > [mm]f(x)+f(y)=x*\textbf{a}+y*\textbf{a}=\textbf{a}(x+y)=f(x+y)[/mm]
>
> Gilt denn da nach dem zweiten "=" Kommutativität? Ist ax
> überhaupt definiert?
>
> Nicht eher [mm]..=(x+y)a=f(x+y)[/mm] ?
>
a*x ist definiert. Und da x,y ja reele Zahlen und a ein Vektor ist, müsste es doch egal sein ob $(x+y)a$ oder $a(x+y)$.
> > Homogenität:
> > [mm]f(\lambda x)=\lambda x*\textbf{a}=\lambda (x*\textbf{a})=\lambda f(x)[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] lin. Abbildung
> >
> > zu c)
> > Additivität:
> >
> > [mm]f(x)+f(y)=f\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}+f\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}=\vektor{x_1+t_1\\
x_2+t_2\\
x_3+t_3}+\vektor{y_1+t_1\\
y_2+t_2\\
y_3+t_3}\neq\vektor{x_1+y_2\\
x_2+y_2\\
x_3+y_3}+\vektor{t_1\\
t_2\\
t_3}=f(x+y)[/mm]
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] keine lin. Abbildung
> >
> > zu d)
> > Additivität:
> > [mm]f(A)+f(B)=|A|+|B|=|A+B|=f(A+B)[/mm]
>
> Nee, ich denke, mit [mm]|A|[/mm] ist [mm]det(A)[/mm] gemeint?!
>
> Die Det. ist nicht additiv!
>
Ja, das stimmt selbstverständlich. Da war ich wohl zu voreilig ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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