Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Sei eine Abbildung [mm] \varphi: \IQ^5 \to \IQ^3 [/mm] definiert durch
[mm] \varphi \vektor{x_1 \\.\\.\\.\\ x_5}=\pmat{ 2x_1+x_3-x_5 \\ \bruch{1}{2}x_1-2x_2 \\8x_2+x_3-x_5 }
[/mm]
(a) Bestimmen Sie eine Matrix A, so dass [mm] \varphi [/mm] (x) = Ax für alle x [mm] \in \IQ^5 [/mm] gilt.
(b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Kernes und des Bildes der linearen Abbildung [mm] \varphi.
[/mm]
(c) Bestimmen Sie den Rang von [mm] \varphi [/mm] |
Hallo,
ich habe zu der Aufgabe einige Fragen:
zu a) soll ich hier [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_5 [/mm] bestimmen? Wenn ja nach was?
zu b) Ich weiß zwar, wie man eine Basis bestimmt, aber wie mach ich es mit dem Kern und dem Bild?
zu c)
Der Rang ist ja gleich der Zeilen, die nach dem umformen nicht null werden.
Aber wie schreib ich die Matrix auf?
Etwa [mm] so:\pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\ \bruch{1}{2} & -2 &0&0&0\\ 0&0&1&0&-1}
[/mm]
????
Lg Melisa
|
|
| |
|
> Sei eine Abbildung [mm]\varphi: \IQ^5 \to \IQ^3[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]\varphi \vektor{x_1 \\
.\\
.\\
.\\
x_5}=\pmat{ 2x_1+x_3-x_5 \\
\bruch{1}{2}x_1-2x_2 \\
8x_2+x_3-x_5 }[/mm]
>
>
> (a) Bestimmen Sie eine Matrix A, so dass [mm]\varphi[/mm] (x) = Ax
> für alle x [mm]\in \IQ^5[/mm] gilt.
> (b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Kernes und des
> Bildes der linearen Abbildung [mm]\varphi.[/mm]
> (c) Bestimmen Sie den Rang von [mm]\varphi[/mm]
> Hallo,
>
>
> ich habe zu der Aufgabe einige Fragen:
>
>
> zu a) soll ich hier [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_5[/mm] bestimmen? Wenn ja nach
> was?
Nein! Laut Aufgabe ist die Matrix A zu bestimmen!
>
> zu b) Ich weiß zwar, wie man eine Basis bestimmt, aber wie
> mach ich es mit dem Kern und dem Bild?
Eine Basis vom Kern einer Matrix A ist gleich einer Basis von der Lösung des GLeichungssystems Ax=0
>
>
> zu c)
>
> Der Rang ist ja gleich der Zeilen, die nach dem umformen
> nicht null werden.
Ja. (im Allgemeinen das Minimum der Nichtnullzeilen und Nichtnullspalten)
>
> Aber wie schreib ich die Matrix auf?
>
> Etwa [mm]so:\pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\
\bruch{1}{2} & -2 &0&0&0\\
0&0&1&0&-1}[/mm] Fast ok. Die letzte Zeile Stimmt nicht!
>
Ansonsten sieht die gut aus.
> ????
>
>
>
> Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
> > Etwa [mm]so:\pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\
\bruch{1}{2} & -2 &0&0&0\\
0&0&1&0&-1}[/mm]
> Fast ok. Die letzte Zeile Stimmt nicht!
> >
> Ansonsten sieht die gut aus.
> > ????
Ohw ja da muss eine 8 hin 
Und der Rang ist 2 da ich nach umformen, auf
[mm] \pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\
0 & 8 &1&0&-1\\
0&0&0&0&0}
[/mm]
komme.
Ist das auch gleich, dass gesuchte A aus teil a oder wie muss ich A bestimmen, dass versteh ich noch nicht :-S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
nein das ist nicht meine erste Aufgabe zu Basisbestimmung. Jedoch hatte ich es noch nicht im Zusammenhang mit dem Kern und Bild.
Ist es so gedacht:
Für die Bestimmung vom Kern:
Habe ich drei Gleichungen:
[mm] I)2x_1+x_3-x_5=0
[/mm]
[mm] II)1/2x_1-2x_2=0
[/mm]
III) [mm] 8_x2+x_3-x_5=0
[/mm]
Jetzt muss ich [mm] x_1......x_5 [/mm] bestimmen.
Jedoch klappt das bei mir irgendwie nicht :-S
aus II folgt: [mm] 1/4x_1=x_2
[/mm]
eingesetzt in III ergibt dies
[mm] 2x_1+x_3-x_5
[/mm]
und diese ist gleich der Gleichung I???
|
|
|
| |
|
Wenn du schon mit Matrizen rechnest, dann nutze doch auch den Vorteil:
[mm] \pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\
0 & 8 &1&0&-1\\
0&0&0&0&0} [/mm]
[mm] $x_3,x_4,x_5$ [/mm] sind freie Vraiblen und [mm] $x_1,x_2$ [/mm] gebundene Variablen. Der Lösungsvektor ist also:
[mm]\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 }=\vektor{-0.5x_3+0.5x_5 \\
-\frac{1}{8}x_3+\frac{1}{8}x_5 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 }[/mm]
Daraus solltest du dir jetzt eine Basis bauen können.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
>
> [mm]x_3,x_4,x_5[/mm] sind freie Vraiblen und [mm]x_1,x_2[/mm] gebundene
> Variablen.
Sorry, aber das versteh ich jetzt nicht, warum sind das gebundene und die andern beide freie?
und wie kommt man darauf:
Der Lösungsvektor ist also:
> [mm]\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 }=\vektor{-0.5x_3+0.5x_5 \\
-\frac{1}{8}x_3+\frac{1}{8}x_5 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 }[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 10.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast a1 bis x5 zu bestimmen, davon kannst du 3 frei wählen, üblicherweise nimmt man die letzten 3, du kannst aber auch x1, x2, x5 wählen und die anderen daraus bestimmen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:37 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok danke für die Erklärung.
Mein Problem ist jetzt noch, wie ich denn daraus die Basis bestimmen soll. Wir hatten das bis jetzt immer nur mit Vektoren. Also fragen der Art: Bilden die Vektoren....eine Basis?
Ich kann ja nicht einfach schreiben:
[mm] \pmat{ 0 & 0& -0,5&0&0,5 \\ 0 & 0&-1/8&0&1/8\\ 0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 10.02.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ist dir das Lösen lineare Gleichungssysteme und darstellen des Lösungsraumes durch Vektoren nun bekannt oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
soll ich [mm] x_3, x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] bestimmen anhand der zwei gleichungen:
I [mm] x_1=-0,5x_3+0,5_x5
[/mm]
II [mm] x_2=-1/8x_3+1/8x_5
[/mm]
????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 10.02.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich kenne das so [mm]x_3,x_4,x_5[/mm] sind frei
[mm] \vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 }=\vektor{-0.5x_3+0.5x_5 \\
-\frac{1}{8}x_3+\frac{1}{8}x_5 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 } =x_3\vektor{-0.5\\
-\frac{1}{8}\\
1\\
0\\
0}+x_4\vektor{0\\
0\\
0\\
1\\
0}+x_5\vektor{0.5\\
\frac{1}{8}\\
0\\
0\\
1}[/mm]
Damit hättest du deine Basisvektoren. Der Lösungsraum ist also
[mm]\IR\vektor{-0.5\\
-\frac{1}{8}\\
1\\
0\\
0}+\IR\vektor{0\\
0\\
0\\
1\\
0}+\IR\vektor{0.5\\
\frac{1}{8}\\
0\\
0\\
1}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 11.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
hab mal eine kurze Frage noch dazu. [mm] x_3,x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] sind ja freie Variablen, aber warum drei? Wie viele wären frei, wenn es insgesamt nur 4 wären oder 6?
danke im voraus
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo melisa,
> Hallo,
>
> hab mal eine kurze Frage noch dazu. [mm]x_3,x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] sind ja freie Variablen, aber warum drei?
Die Matrix lautet $ [mm] \pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\ 0 & 8 &1&0&-1\\ 0&0&0&0&0} [/mm] $ mit Pivotstellen in der ersten und zweiten Spalte. Die Variablen zu den Spalten mit Pivotelementen sind immer abhängig von den frei wählbaren Variablen. Stell dir im konkreten Beispiel vor, sind die Variablen [mm] x_3,x_4,x_5 [/mm] fest so ergibt sich [mm] x_2 [/mm] eindeutig in Abhängigkeit von diesen aus der Gleichung
[mm] \qquad $8x_2+1x_3+0x_4-1x_5=0$ [/mm] (zweite Zeile der Matrix)
Schau dazu auch nochmal im Skript nach.
> Wie viele wären frei, wenn es insgesamt nur 4 wären oder 6?
Was sollen insgesamt nur 4 oder 6 sein?
>
>
> danke im voraus
>
>
> Lg
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 11.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
sry ich konnte mich nicht richtig ausdrücken. Meine Frage ist, warum genau zwei gebunden und drei frei sind.
Das in diesem Beispiel ist ja eine 3x5 Matrix. Wieviele wären gebunden wenn es eine 3x4 Matrix wäre? Oder hat das damit nichts zu tun?
|
|
|
| |
|
> sry ich konnte mich nicht richtig ausdrücken. Meine Frage
> ist, warum genau zwei gebunden und drei frei sind.
> Das in diesem Beispiel ist ja eine 3x5 Matrix. Wieviele
> wären gebunden wenn es eine 3x4 Matrix wäre? Oder hat das
> damit nichts zu tun?
Das hat damit nichts zu tun. 
Entscheidend ist die Anzahl der Spalten mit Pivotelementen. Im vorigen Beispiel gab es zwei solche Spalten, also zwei abhängige Variablen. Insgesamt 5 Spalten, also 3 frei wählbare.
>
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 11.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok danke für deine Erklärung. Ich glaube ich habe es verstanden.
Würde die Matrix so aussehen:
[mm] \pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\ 0 & 8 &1&0&-1\\ 0&0&3&0&0}
[/mm]
Dann hätte ich 3 gebundene und zwei freie Variablen nicht wahr?
|
|
|
| |
|
> ok danke für deine Erklärung. Ich glaube ich habe es
> verstanden.
> Würde die Matrix so aussehen:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0& 1&0&-1 \\ 0 & 8 &1&0&-1\\ 0&0&3&0&0}[/mm]
>
> Dann hätte ich 3 gebundene und zwei freie Variablen nicht
> wahr?
Richtig!
Gruß
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
da ich nach umformen, auf
