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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. P_{n}=\{p:\IR\to\IR|p(x)=\summe_{k=0}^{n}a_{k}x^k,a_{k}\in\IR,k=0,...,n\} [/mm] bezeichne den Vektorraum aller reellen Polynome, dessen Grade n nicht übersteigt. Desweiteren seien folgende Abbildungen gegeben:
i) D: [mm] P_{n}\to P_{n-1},p\mapsto\bruch{d}{dx}p [/mm] (Differentiation)
ii) [mm] I:P_{n-1}\to P_{n},p\mapsto \integral_{0}^{}{ p(\chi)d\chi} [/mm] (Integration)
[mm] iii)T_{x_{0}}:P_{n}\to P_{n}, p\to p(⋅-x_{0}) [/mm] für ein beliebiges [mm] x_{0}\in \IR [/mm] (Translation).
a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen A,I und [mm] T_{x_{0}} [/mm] linear sind. |
Hallo zusammen,
die Bedingungen für Linearität sind ja folgende:
Wenn U,V Vektorräume über K sind und f: [mm] U\to [/mm] V eine Abbildung mit den Eigenschaften:
f(x+y)=f(x)+f(y) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U
[mm] f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x) [mm] \forall \lambda \in [/mm] K, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U
Wie wende ich das nun auf diese Abbildungen an-könnte mir vielleicht jemand ein Bsp. zumindest bei einer zeigen?
Wäre sehr nett, danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 08.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich machs dir mal für den Differentialoperator vor:
Additivität:
D(u+v)=(u+v)'=u'+v'=Du+Dv
Homogen:
[mm] $D(\lambda u)=(\lambda [/mm] u)' = [mm] \lambda [/mm] u' = [mm] \lambda [/mm] Du.
Das wars eigentlich auch schon.
Integration geht eigentlich genau mit den selben Argumenten, da du das Integral von Summen auch über einzelne Summanden machen kannst und Konstanten rausziehen kannst.
Den dritten Fall verstehe ich nicht ganz. Hast du da was falsch abgetippt?
Also [mm] p(-x_0) [/mm] ergibt ja eigentlich eine reelle Zahl. Darum frag ich mich warum das nach [mm] P_n [/mm] abbilden soll.
Schönen Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Do 09.12.2010 | | Autor: | Pokojovix |
Hallo Theoretix,
schau nochmal genau auf die Aufgabe. Ich vermute, dass Translation definiert ist als:
[mm] $T_{x_0}: P_n \rightarrow P_n, [/mm] p [mm] \rightarrow p(\cdot [/mm] - [mm] x_0)$
[/mm]
(beachte den Punkt!)
Lieben Gruß
Pokojovix
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