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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier noch ein paar Beispiele zu linearen Abbildungen, bei denen ich teilweise nicht weiterkomme.
Hier mal das erste Beispiel:
Die Abbildung [mm] \IR\to\IC [/mm] ist [mm] \IR-linear.
[/mm]
Also [mm] \IR-linear [/mm] heißt doch, das der Skalar in der zweiten Bedingung für die Linearität (also in der Skalarmultiplikation) aus [mm] \IR [/mm] ist, richtig?
Dann überprüfe ich mal die erste Bedingung. Es muss gelten, dass $f(v+w)=f(v)+f(w)$
Beweis: $f(v+w)=i(v+w)=iv+iw=f(v)+f(w)$
Dann die zweite Bedingung, da muss gelten, dass $f(a*v)=a*f(v)$ für [mm] a\in\IR
[/mm]
Beweis: $f(a*v)=i(a*v)=a*(iv)=a*f(v)$
Dabei ist doch in $f(a*v)$ das Argument [mm] $a*v\in\IR$, [/mm] da sowohl a als auch v Elemente von [mm] \IR [/mm] sind, oder?
Aber wie sieht es bei $i(a*v)$ aus? Sind da jetzt a und v Elemente aus [mm] \IC [/mm] ?
Und wieso ist das nur [mm] \IR-linear? [/mm] Wieso sollte der Beweis nicht auch nicht komplexen Skalaren funktionieren?
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Nadine
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> Hier mal das erste Beispiel:
>
> Die Abbildung [mm]\IR\to\IC[/mm] ist [mm]\IR-linear.[/mm]
Hallo,
von welcher Abbildung redest Du denn gerade?
>
> Also [mm]\IR-linear[/mm] heißt doch, das der Skalar in der zweiten
> Bedingung für die Linearität (also in der
> Skalarmultiplikation) aus [mm]\IR[/mm] ist, richtig?
Ja.
Offenbar möchtest Du sprechen über
[mm] f:\IR\to \IC
[/mm]
f(x):= ix
>
> Dann überprüfe ich mal die erste Bedingung. Es muss
> gelten, dass [mm]f(v+w)=f(v)+f(w)[/mm]
>
> Beweis: [mm]f(v+w)=i(v+w)=iv+iw=f(v)+f(w)[/mm]
Ja.
>
> Dann die zweite Bedingung, da muss gelten, dass
> [mm]f(a*v)=a*f(v)[/mm] für [mm]a\in\IR[/mm]
>
> Beweis: [mm]f(a*v)=i(a*v)=a*(iv)=a*f(v)[/mm]
>
> Dabei ist doch in [mm]f(a*v)[/mm] das Argument [mm]a*v\in\IR[/mm], da sowohl
> a als auch v Elemente von [mm]\IR[/mm] sind, oder?
Ja.
>
> Aber wie sieht es bei [mm]i(a*v)[/mm] aus? Sind da jetzt a und v
> Elemente aus [mm]\IC[/mm] ?
Jedes Element, welches in [mm] \IR [/mm] ist, ist auch in [mm] \IC...
[/mm]
a*v ist aber nach wie vor reell, und [mm] i(av)\in \IC [/mm] \ [mm] \IR.
[/mm]
>
> Und wieso ist das nur [mm]\IR-linear?[/mm] Wieso sollte der Beweis
> nicht auch nicht komplexen Skalaren funktionieren?
Weil Deine Funktion im [mm] \IR [/mm] startet.
f(i*5) wäre ja gar nicht definiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Offenbar möchtest Du sprechen über
>
> [mm]f:\IR\to \IC[/mm]
> f(x):= ix
Oh ja, genau, hoppala 
> > Und wieso ist das nur [mm]\IR-linear?[/mm] Wieso sollte der Beweis
> > nicht auch nicht komplexen Skalaren funktionieren?
> Weil Deine Funktion im [mm]\IR[/mm] startet.
>
> f(i*5) wäre ja gar nicht definiert.
Achsoooo, ok.
Danke für deine Hilfe.
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe hier noch ein Beispiel, wo es wieder um die [mm] \IR-Linearitaet [/mm] einer Abbildung geht.
Es lautet:
Die Abbildungen [mm] $\IC\to\IR$, [/mm] $z [mm] \mapsto [/mm] Re(z)$ und [mm] $\IC\to\IR$, [/mm] $z [mm] \mapsto [/mm] Im(z)$ sind [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildungen.
Also ich zeig mal meine Rechnung nur für den Teil mit dem Realteil, der Imaginärteil geht ja dann genauso.
1) $f(v+w)=Re(v+w)=Re(v)+Re(w)=f(v)+f(w)$
2) $f(a*v)=Re(a*v)=a*Re(v)=a*f(v)$ mit [mm] a\in\IR
[/mm]
Aber warum ist das ganze nicht [mm] \IC-linear [/mm] ?
Komplexe Werte für a kann ich doch einsetzen, die Funktion startet ja in [mm] \IC.
[/mm]
LG, Nadine
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> Hallo!
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> Ich habe hier noch ein Beispiel, wo es wieder um die
> [mm]\IR-Linearitaet[/mm] einer Abbildung geht.
>
> Es lautet:
>
> Die Abbildungen [mm]\IC\to\IR[/mm], [mm]z \mapsto Re(z)[/mm] und [mm]\IC\to\IR[/mm], [mm]z \mapsto Im(z)[/mm]
> sind [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildungen.
>
> Also ich zeig mal meine Rechnung nur für den Teil mit dem
> Realteil, der Imaginärteil geht ja dann genauso.
>
> 1) [mm]f(v+w)=Re(v+w)=Re(v)+Re(w)
Hallo,
dieser Schritt stimmt zwar, aber so richtig überzeugen tut er mich nicht.
Ich würde das so angehen: sein v,w\in \IC.
Dann ist v=Re(v)+Im(v)i, w=Re(w)+Im(w)i.
Es ist f(v+w)= f(Re(v)+Im(v)ii+Re(w)+Im(w)i)= f( [Re(v)+Re(w) + [...])= usw.
> =f(v)+f(w)[/mm]
>
> 2) [mm]f(a*v)=Re(a*v)=a*Re(v)=a*f(v)[/mm] mit [mm]a\in\IR[/mm]
>
> Aber warum ist das ganze nicht [mm]\IC-linear[/mm] ?
Weil es - nicht [mm] \IC-linear [/mm] ist:
f( i*( 2+3i))=f( -3 +2i)= -3 [mm] \not= [/mm] i*f(2+3i)=2i
>
> Komplexe Werte für a kann ich doch einsetzen, die Funktion
> startet ja in [mm]\IC.[/mm]
Es ist bloß ein bißchen blöd, daß man als Funktionswerte imaginäre Zahlen bekommen kann, nicht wahr?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> dieser Schritt stimmt zwar, aber so richtig überzeugen tut er mich
> nicht.
> Ich würde das so angehen: sein [mm] v,w\in \IC.
[/mm]
> Dann ist v=Re(v)+Im(v)i, w=Re(w)+Im(w)i.
> Es ist f(v+w)= f(Re(v)+Im(v)ii+Re(w)+Im(w)i)= f( [Re(v)+Re(w) +
> [...])= usw.
> =f(v)+f(w)[/mm]
Ok, danke.
Was fehlt denn im meinem Beweis, damit er dich überzeugen könnte
> f( i*( 2+3i))=f( -3 +2i)= -3 [mm]\not=[/mm] i*f(2+3i)=2i
>
> Es ist bloß ein bißchen blöd, daß man als
> Funktionswerte imaginäre Zahlen bekommen kann, nicht
> wahr?
Oh ja, natürlich... Das habe ich gar nicht bedacht...
Es ist vielleicht schon etwas spät zum lernen 
LG, Nadine
P.S.: Wie ist das generell, wenn in Büchern oder so steht, dass solche Skalar-rauszieh-Geschichten für Skalare aus [mm] \IR [/mm] definiert sind, ist es dann generell mit komplexen Skalaren verboten, oder wird es einfach nicht erwähnt, weil es unüblich ist?
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> Hallo Angela!
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> > dieser Schritt stimmt zwar, aber so richtig überzeugen tut
> er mich
> > nicht.
>
> > Ich würde das so angehen: sein [mm]v,w\in \IC.[/mm]
>
> > Dann ist v=Re(v)+Im(v)i, w=Re(w)+Im(w)i.
>
> > Es ist f(v+w)= f(Re(v)+Im(v)ii+Re(w)+Im(w)i)= f(
> [Re(v)+Re(w) +
> > [...])= usw.
>
>
> > =f(v)+f(w)[/mm]
>
> Ok, danke.
>
> Was fehlt denn im meinem Beweis, damit er dich überzeugen
> könnte
Hallo,
wenn ich mich ein bißchen naiv anstelle, dann sehe ich nicht auf einen Blick, daß der Realteil der komplexen Zahl v+w wirklch aus der Summe der beiden Realteile besteht.
Deshalb habe ich es so gemacht, wie ich es gemacht habe.
>
>
>
> > f( i*( 2+3i))=f( -3 +2i)= -3 [mm]\not=[/mm] i*f(2+3i)=2i
> >
> > Es ist bloß ein bißchen blöd, daß man als
> > Funktionswerte imaginäre Zahlen bekommen kann, nicht
> > wahr?
>
> Oh ja, natürlich... Das habe ich gar nicht bedacht...
Aber Dir ist klar, daß es auch mit dem Zielaraum [mm] \IC [/mm] nicht [mm] \IC-linear [/mm] wäre? Das habe ich ja zuvor gezeigt.
Gruß v. Angela
>
> Es ist vielleicht schon etwas spät zum lernen
>
>
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> wenn ich mich ein bißchen naiv anstelle, dann sehe ich
> nicht auf einen Blick, daß der Realteil der komplexen Zahl
> v+w wirklch aus der Summe der beiden Realteile besteht.
> Deshalb habe ich es so gemacht, wie ich es gemacht habe.
Achso.
Ok, ich hatte es direkt so gemacht, weil ich diese Regel noch aus der Funktionentheorie-Vorlesung im Kopf hatte.
> >
> > > f( i*( 2+3i))=f( -3 +2i)= -3 [mm]\not=[/mm] i*f(2+3i)=2i
> Aber Dir ist klar, daß es auch mit dem Zielaraum [mm]\IC[/mm] nicht
> [mm]\IC-linear[/mm] wäre? Das habe ich ja zuvor gezeigt.
Ja, weil die Ergebnisse auch nicht gleich sind, damit hat man ja schon ein Gegenbeispiel.
Ich hatte in meiner vorherigen Frage noch eine nachträgliche Frage gepostet, ich denke, du hast sie nicht mehr gesehen, deshalb stelle ich sie grad hier nochmal:
Wie ist das generell, wenn in Büchern oder so steht, dass solche Skalar-rauszieh-Geschichten für Skalare aus $ [mm] \IR [/mm] $ definiert sind, ist es dann generell mit komplexen Skalaren verboten, oder wird es einfach nicht erwähnt, weil es unüblich, aber dennoch zulässig ist?
LG, Nadine
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> Wie ist das generell, wenn in Büchern oder so steht, dass
> solche Skalar-rauszieh-Geschichten für Skalare aus [mm]\IR[/mm]
> definiert sind, ist es dann generell mit komplexen Skalaren
> verboten, oder wird es einfach nicht erwähnt, weil es
> unüblich, aber dennoch zulässig ist?
Hallo,
Wenn da steht [mm] \IR, [/mm] dann ist [mm] \IR [/mm] gemeint.
Kann sein, daß es auch für [mm] \IC [/mm] gilt, vielleicht aber auch nicht. Es wäre im Einzelfall zu prüfen.
I.a. gilt es nicht für [mm] \IC.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Wenn da steht [mm]\IR,[/mm] dann ist [mm]\IR[/mm] gemeint.
> Kann sein, daß es auch für [mm]\IC[/mm] gilt, vielleicht aber
> auch nicht. Es wäre im Einzelfall zu prüfen.
> I.a. gilt es nicht für [mm]\IC.[/mm]
Ok, vielen Dank.
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