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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 17.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Sei f': [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] eine lineare Abbildung über dem Körper [mm] \IR
[/mm]
(x,y,z) -> (x-2y+3z, x +0y + 2z, 0x - 2y +z)
f' ist kein Monomorphismus da Kerf' != {0} ist
kein Epimorphismus da nur injektiv wenn GLS eindeutig lösbar wäre was hier nicht der Fall ist oder?
Also ist es schon recht kein Isomorphismus.
Aber die Abbildung könnte doch ein Endomorphismus sein das V = W ist in diesem Fall [mm] \IR^3 [/mm] = [mm] \IR^3 [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Do 17.03.2005 | | Autor: | Tito |
Hi Reaper
Ich schreibe das hier mal als Mitteilung, weil ich nicht weiß ob dir das weiterhilft, was ich hier schreibe:
Also die Abbildung war
> Sei f': [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] eine lineare Abbildung über dem
> Körper [mm]\IR
[/mm]
> (x,y,z) -> (x-2y+3z, x +0y + 2z, 0x - 2y +z)
Also ich kenne die Eigenschaften eines Monomorphismus nicht, aber
die Dimension des Kerns von f´ ist 1, da
[mm] \pmat{ 1 & - 2 & 3\\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 2 & 1}
[/mm]
ist nach ein paar Zeilenumformungen, wenn ich mich nicht verrechnet habe
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2\\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
also hat die dim(Bild f´)= 2
[mm] \Rightarrow [/mm] da
dim [mm] \IR^3 [/mm] = 3 ist nach Dimensionsformal dim [mm] \IR^3 [/mm] - dim(Bild f´) = 3 - 2 = 1 =dim(kern f´)
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Abbildung f´ist nicht injektiv, da es mindestens 2 Vektoren gibt die auf 0 abbilden,weil die Dimension des Kerns nicht 0 ist. Ich weiß leider auch nicht ob das reicht um zu sagen das es kein Epimorphismus ist, da ich diesen Begriff leider auch nicht kenne.
[mm] \Rightarrow [/mm] Da nicht injektiv kein Isomorphismus.
und nun noch schauen ob es ein Endomorphismus ist:
In der abstrakten Algebra ist ein Endomorphismus ein Homomorphismus f: A -> A einer mathematischen Struktur A in sich selbst.
Also ja, es ist ein Endomorphismus meiner Meinung nach, da die Abbildung ja auf sich selbst abbildet und nach Voraussetzung linear ist, also ein Homomorphismus. Linearität könnte man ja noch schnell nachprüfen.
Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.
Gruß
Tito
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Danke
Genau dass hab ich mir eigentlich auch gedacht, jetzt bräuchte ich eigentlich nur mer irgendein drittes sicheres Urteil ob das Ganze auch wirklich stimmt.
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Hallo.
Kurz, knapp und erfreulich formuliert, das kann man so machen! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 18.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Vollkommen richtig. Die Abbildung ist kein Monomorphismus (nicht injektiv), da es einen nichttrivialen Kern gibt. Ein Endomorphismus ist es in jedem Fall, schließlich muß es dafür nur ein Homomorphismus in sich selbst sein, auch richtig.
Um zu sehen, daß die Abbildung nicht surjektiv sein kann (Epimorphismus), muß man nur sehen, daß ein Endomorphismus genau dann injektiv ist, wenn er surjektiv ist:
Ist er nicht injektiv, hat das Bild eine kleinere Dimension als das Urbild. Damit ist das Bild ein echter Untervektorraum.
Ein Isomorphismus ist es damit, wie Du auch richtig gesagt hast, auch nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 22.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab mir deine Antwort jetzt mal durchgelesen und frage mich aber jetzt ob das mit dem Erkennen dass die Abbildung nicht surjektiv ist richtig ist. Du schreibst genau dann injektiv wenn surjektiv. Dass heißt ja du nimmst an dass das Ganze bijektiv ist aber ein Endomorphismus ist ja nicht automatisch bijektiv. Kannst du mir deine Erläuterung bitte noch mal erklären.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Allgemein gilt sei f: G->H ein Homomorphismus mit |G|=|H| dann ist f genau dann surjektiv wenn f injektiv ist.
Will heissen sobald G und H die gleiche Anzahl an Elementen haben( gilt bei Endomorphismen automatisch) ist f bijektiv sobald es injektiv oder surjetiv ist, da es dann das andere automatisch auch ist. Das hindert den Endomorphismus aber nicht daran keins von beidem zu sein. Es heisst nur wenn eins dann beides.
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