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Hi,
gegeben sei folgende Aufgabe:
Es seien folgende Vektoren in [mm] \IR^3 [/mm] gegeben:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\1}, v_2 =\vektor{1\\1\\-1}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\-2}
[/mm]
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1}. w_2 =\vektor{-3\\4\\2}, w_3=\vektor{-4\\3\\1}
[/mm]
Finden sie zwei verschiedene lineare Abbildungen [mm] f_1, f_2: \IR^3 \mapsto \IR^3 [/mm] mit
[mm] f_i(v_j)=w_j [/mm]
Als erstes teste ich ja, ob die [mm] v_i [/mm] linear abhängig sind. Wir erhalten [mm] v_2 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_3
[/mm]
Dann muss ja [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_3 [/mm] = [mm] w_2 [/mm] gelten. Diese Bedingung wird, wie man durch nachrechnen erkennt, auch erfüllt.
Nun meine Frage, warum erweitere ich die [mm] v_i [/mm] zu einer Basis, d.h. [mm] v_2^* [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] v_2^* \mapsto \vektor{0\\0\\0} [/mm]
Meine Frage ist, warum erweitere ich die [mm] v_i [/mm] 's zu einer Basis und warum nehme ich den Nullvektor?
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Fr 18.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Nun meine Frage, warum erweitere ich die [mm]v_i[/mm] zu einer
> Basis, d.h. [mm]v_2^*[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und [mm]v_2^* \mapsto \vektor{0\\0\\0}[/mm]
> Meine Frage ist, warum erweitere ich die [mm]v_i[/mm] 's zu einer
> Basis und warum nehme ich den Nullvektor?
du erweiterst die vektoren zu einer basis, da du eine lineare abbildung angeben willst und diese liegt ja bekanntlich fest, wenn du die bilder einer basis angegeben hast. somit suchst du dir eine basis im urbildraum. diese hast du nun durch [mm] $v_1, \dot{v_2}, v_3$ [/mm] gegeben und gibst die bilder dieser basis an - für zwei der basisvektoren hast du die bilder ja schon vorgegeben (also liegt die abbildung auf einem unterraum fest, der einer ursprungsebenen entspricht) und nun kannst du das bild für den 3ten basis vektor [mm] $\dot{v_2}$ [/mm] noch frei wählen um verschiedene abbildungen zu erzeugen. eine wahl wäre eben die von dir angegebene [m] \dot{v_2} \longmapsto \left( \begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) [/m] - aber auch jede andere wahl wäre zulässig. damit erhälst du beliebig viele lineare abbildungen, die auf dem zweidimensionalen unterraum der vorgegebenen entsprechen!
ich hoffe das ist verständlich und hilft weiter.
grüße
andreas
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Hi, also der Grund warum ich zu einer Basis erweitere ist mir nicht so wirklich klar. Kannst du das evtl. genauerer erklären?
Das andere habe ich verstanden. Danke dafür.
MfG Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Fr 18.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
hm. was man da noch groß sagen kann weiß ich nicht. ich probbiere es mal. also du willst eine lineare abbildung [mm] $\varphi: [/mm] V [mm] \longrightarrow [/mm] W$ aus einem $K$-vektorraum $V$ in eine $K$-vektorraum $W$ angeben. dann genügt es die bilder der basis anzugeben, denn sei (im endlich-dimensionalen fall) die basis [mm] $\{ \textrm{\textbf{e}}_1, \textrm{\textbf{e}}_2, \hdots, \textrm{\textbf{e}}_n \}$, [/mm] dann lässt sich jeder vektor aus $V$ als linearkombination dieser basisvektoren schrieben, also für ein beliebiges [mm] $\textrm{\textbf{v}} \in [/mm] V$ gibt es geeignete konstanten [mm] $\nu_1, \nu_2 \hdots, \nu_n \in [/mm] K$, so dass
[m] \textbf{\textrm{v}} = \nu_1\textrm{\textbf{e}}_1 + \nu_2 \textrm{\textbf{e}}_2 + \hdots + \nu_n \textrm{\textbf{e}}_n = \sum_{i=1}^n \nu_i \textrm{\textbf{e}}_i[/m]
dann gilt aber wegen der linearitätseigenschaft, dass sich [mm] $\varphi(\textrm{\textbf{v}})$ [/mm] folgendermaßen berechnen lässt:
[m] \varphi(\textrm{\textbf{v}}) = \varphi \left( \sum_{i=1}^n \nu_i \textrm{\textbf{e}}_i \right) = \sum_{i=1}^n \varphi(\nu_i \textrm{\textbf{e}}_i) = \sum_{i=1}^n \nu_i \varphi( \textrm{\textbf{e}}_i) [/m]
und die summanden der letzten summe sind alle bekannt - die [mm] $\nu_i$ [/mm] aus der basisdarstellung von [mm] $\textrm{\textbf{v}} \in [/mm] V$ und die [mm] $\varphi(\textrm{\textbf{e}}_i)$, [/mm] da vorrausgesetzt war, dass die abbildung auf der basis des vektorraums festliegt. somit kann man also das bild eines beliebigen vektors ausrechnen, wenn man die bilder einer basis kennt, also musst du in deiner aufgabe nur die bilder einer basis angeben - diese konstruierst du eben durch die hinzunahme von [mm] $\dot{v_2}$ [/mm] - um die abbildung vollständig zu determinieren.
hoffe es ist jetzt klarer geworden, wenn nicht frage nochmal nach.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Fr 18.02.2005 | | Autor: | baskolii |
> hi
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> > Nun meine Frage, warum erweitere ich die [mm]v_i[/mm] zu einer
> > Basis, d.h. [mm]v_2^*[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und [mm]v_2^* \mapsto \vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> > Meine Frage ist, warum erweitere ich die [mm]v_i[/mm] 's zu einer
>
> > Basis und warum nehme ich den Nullvektor?
>
> du erweiterst die vektoren zu einer basis, da du eine
> lineare abbildung angeben willst und diese liegt ja
> bekanntlich fest, wenn du die bilder einer basis angegeben
> hast. somit suchst du dir eine basis im urbildraum. diese
> hast du nun durch [mm]v_1, \dot{v_2}, v_3[/mm] gegeben und gibst
> die bilder dieser basis an - für zwei der basisvektoren
> hast du die bilder ja schon vorgegeben (also liegt die
> abbildung auf einem unterraum fest, der einer
> ursprungsebenen entspricht) und nun kannst du das bild für
> den 3ten basis vektor [mm]\dot{v_2}[/mm] noch frei wählen um
> verschiedene abbildungen zu erzeuegn. eine wahl wäre eben
> die von dir angegebene [m]\dot{v_2} \longmapsto \left( \begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)[/m]
> - aber auch jede andere wahl wäre zulässig.
naja, damit du so eine lineare abbildung finden kannst, darfst du keinen Vektor aus [mm] spann(w_1,w_2,w_3) [/mm] wählen!
>damit erhälst
> du beliebig viele lineare abbildungen, die auf dem
> zweidimensionalen unterraum der vorgegebenen entsprechen!
>
> ich hoffe das ist verständlich und hilft weiter.
>
>
> grüße
> andreras
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Ja aber [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] ist doch auch als LK aller anderen möglichen Vektoren darstellbar.
Also muss ich etwas dabei beachten, wenn ich für den der die [mm] v_i [/mm] 's zur Basis ergänzt hat abbilden will?? Darf ich hier nicht den Nullvektor nehmen?
MfG Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Sa 19.02.2005 | | Autor: | baskolii |
oh sorry, klar der nullvektor liegt auch in der hülle von [mm] w_1, w_2 [/mm] und [mm] w_3.
[/mm]
den nullvektor darfst du wählen, aber jede andere LK von [mm] w_1, w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] funktioniert nicht.
wenn du z.B. [mm] w=\lambda_1\cdot w_1 [/mm] + [mm] \lambda_3\cdot w_3\not=0 [/mm] wählst
müsste [mm] f(v_2^*)=w=\lambda_1\cdot w_1 [/mm] + [mm] \lambda_3\cdot w_3=f(\lambda_1\cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_3\cdot v_3)
[/mm]
mmh, dann wäre f nicht injektiv, aber immer noch linear.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") kannst doch jeden vektor nehmen.
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