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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildungen
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Lineare Abbildungen: Endomorphismus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mo 07.07.2008
Autor: nadine2901

Aufgabe
Sei ® der Endomorphismus des Vektorraumes R3 mit
®(x; y; z) = (5x + y - 2z;-x + 3y + 2z;-x + y + 4z)

Bestimmen Sie die Matrix von ®

(a) bzgl. der Standardbasis und
(b) bzgl. der Basis {(0; 1;-1); (1; 1; 0); (1; 0;-1)}.

Könnt ihr mir weiter helfen, ich finde bei dieser Aufgabe keinen Lösungsansatz... bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mo 07.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Nadine und herzlich [willkommenmr],

> Sei ® der Endomorphismus des Vektorraumes R3 mit
>  ®(x; y; z) = (5x + y - 2z;-x + 3y + 2z;-x + y + 4z)
>  
> Bestimmen Sie die Matrix von ®
>  
> (a) bzgl. der Standardbasis und
>  (b) bzgl. der Basis {(0; 1;-1); (1; 1; 0); (1; 0;-1)}.
>  Könnt ihr mir weiter helfen, ich finde bei dieser Aufgabe
> keinen Lösungsansatz... bitte um Hilfe.

Na, wie habt ihr denn in der Vorlesung die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bzgl. einer Basis berechnet?

Da muss doch was im Skript zu finden sein ;-)

Die k-te Spalte der Abbildungsmatrix bekommst du, indem du den k-ten Basisvektor in die Abbildungsvorschrift stopfst und das Bild als Linearkombination der Basisvektoren darstellst.

Die Koeffizienten in dieser Linearkombination bilden dann die k-te Spalte der gesuchten Matrix.

Ich mache das mal für den 2ten Basisvektor bei (a):

Die Standardbasis ist [mm] $\mathbb{B}=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\right\}$ [/mm]

Rechnen wir das Bild des 2ten Basisvektors aus: [mm] $®\left(\vektor{0\\1\\0}\right)=\vektor{1\\3\\1}=\blue{1}\cdot{}\vektor{1\\0\\0}+\blue{3}\cdot{}\vektor{0\\1\\0}+\blue{1}\cdot{}\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]

Also ist die 2te Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix von $®$ bzgl. [mm] $\mathbb{B}$ $\vektor{1\\3\\1}$ [/mm]

Nun sollte das Prinzip klar sein, also mal ran ;-)


>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


LG

schachuzipus
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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mo 08.07.2013
Autor: nadine2901

Hallo und danke für deinen Ansatz.

Wenn ich nun zu der vorhandenen Matrix ker f ausrechnen soll, wie gehe ich dann weiter vor?

lg Nadine2901

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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mo 08.07.2013
Autor: fred97


> Hallo und danke für deinen Ansatz.
>  
> Wenn ich nun zu der vorhandenen Matrix ker f ausrechnen
> soll, wie gehe ich dann weiter vor?

Löse das LGS

5x + y - 2z=0
-x + 3y + 2z=0
-x + y + 4z=0

FRED
>
> lg Nadine2901
>  

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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Mo 08.07.2013
Autor: nadine2901

Kann der Kern denn (,0,0) sein?
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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 08.07.2013
Autor: angela.h.b.


> Kann der Kern denn (0,0,0) sein?

Hallo,

kann er.
Und ist er.
Ganz richtig: [mm] \{(0,0,0)\}. [/mm]

LG Angela
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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 08.07.2013
Autor: nadine2901

Okay, das habe ich nun verstanden. Aber wie errechne ich mir jetzt das Bild von f?
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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mo 08.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Okay, das habe ich nun verstanden. Aber wie errechne ich
> mir jetzt das Bild von f?

Na, das ist ganz einfach. Wie war das mit dem Zusammenhang von Bild und Kern?

Nutze das, dann musst du gar nicht rechnen ...

Gruß

schachuzipus
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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mo 08.07.2013
Autor: nadine2901

Wie lautete dieser nochmal?
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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Mo 08.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Wie lautete dieser nochmal?

Das ist nicht dein Ernst? Was ist denn das für eine Arbeitseinstellung??

Schaue mal selbe im Skript oder deinen Vorlesungsnotizen oder im Netz nach.

Stichwort: Dimensionssatz

Gruß

schachuzipus
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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Mo 08.07.2013
Autor: nadine2901

Ach das meinst du; also dimKern + dim Bild = dim V, das heißt in meinem Beispiel ist die Dimension =2
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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Mo 08.07.2013
Autor: fred97


> Ach das meinst du; also dimKern + dim Bild = dim V, das
> heißt in meinem Beispiel ist die Dimension =2

Hä ?

Es ist V= [mm] \IR^3, Kern(f)=\{(0,0,0)\} [/mm]

Dann ist dimBild(f)= ? Und damit ist Bild(f)=?

FRED

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Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 Mo 08.07.2013
Autor: schachuzipus

Hey,

die Antwort hast du aber gründlich sacken lassen ;-)

LG

schachuzipus
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Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Mo 08.07.2013
Autor: nadine2901

Ja, habe ich... Bin sonst eigentlich eher nicht der Typ, der unhöflich ist!
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