Lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear:
[mm] \IR4 [/mm] -> [mm] \IR4 [/mm] (x,y,w,z) -> (3x+y/6,4z-2y,z,w) |
Ich würde es gerne mit dem gaussischen Verfahren lösen....kann ich das machen?
und kann ich dann skalare beliebig wählen, dass ich spter das ergebnis bekomme?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Sa 06.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also mit Gauß löst man normaler Weise Gleichungssysteme bzw. wandelt entspr. Matrizen in obere Dreiecksgestalt u.ä.
Hier weißt du jedoch noch gar nicht, ob du die Abbildung als Matrix schreiben kannst, denn genau das ist die Aufgabe.
(Jede lineare Abbildung ist nach Wahl von Basen eindeutig als Matrix darstellbar und umgekehrt !)
Also was du konkret zeigen musst:
sei [mm]f: \IR4[/mm] -> [mm]\IR4[/mm] f(x,y,w,z)=(3x+y/6,4z-2y,z,w)
Dann musst du zeigen, dass gilt:
[mm] $f(\vektor{x\\y\\w\\z}+\vektor{x'\\y'\\w'\\z'})=f(\vektor{x\\y\\w\\z})+f(\vektor{x'\\y'\\w'\\z'})$
[/mm]
und:
[mm] $f(\lambda *\vektor{x\\y\\w\\z})=\lambda [/mm] * [mm] f(\vektor{x\\y\\w\\z})$ [/mm] für beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
wenn beides gilt, ist die Abbildung f linear
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
okay danke!
Das verstehe ich soweit, aber ich verstehe nicht, wie ich auf die Zahlen komme, also sprich 3x y/6 .... :(
|
|
|
| |
|
Hallo!
> okay danke!
> Das verstehe ich soweit, aber ich verstehe nicht, wie ich
> auf die Zahlen komme, also sprich 3x y/6 .... :(
Also, du hast gegeben: f(x,y,w,z)=(3x+y/6,4z-2y,z,w) (wie auch immer das zu lesen sein mag - ist in der ersten Komponente der Zähler 3x+y oder nur y? Benutze doch bitte unseren Formeleditor!)
Nimmst du nun die beiden Vektoren [mm] \vektor{x\\y\\w\\z} [/mm] und [mm] \vektor{x'\\y'\\w'\\z'} [/mm] so ergibt sich:
[mm] f(\vektor{x\\y\\w\\z}+\vektor{x'\\y'\\w'\\z'})=f(\vektor{x+x'\\y+y'\\w+w'\\z+z'})=\vektor{3(x+x')+(y+y')/6\\4(z+z')-2(y+y')\\z+z'\\w+w'}
[/mm]
und
[mm] f(\vektor{x\\y\\w\\z})+f(\vektor{x'\\y'\\w'\\z'})=\vektor{3x+y/6\\4z-2y\\z\\w}+\vektor{3x'+y'/6\\4z'-2y'\\z'\\w'}=\vektor{3x+y/6+3x'+y'/6\\4z-2y+4z'-2y'\\z+z'\\w+w'}
[/mm]
Auf den ersten Blick sieht mir das schwer gleich aus. Hoffentlich habe ich mich nirgendwo vertippt, aber das Prinzip dürfte klar sein, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
Ah danke...ja jetz habe ich es verstanden.... mit dem "y/6" weiß ich elbst net was es heißt, weil es auch so da steht... aber danke, jetz hab ich es verstanden...
danke für die mühe - an einem samstag abend - aber das thema mag und kann ich nicht!
DANKE :)
|
|
|
|
