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Hey Leute!!
Habe nen Problem mit folgender Aufgabe,weiß nämlich nicht,wie ich die machen soll:
Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] betrachten wir die [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung [mm] F_{\alpha} :\IR^4 \to \IR^4 [/mm] , die für beliebiges [mm] x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^4 [/mm] durch
[mm] F_{\alpha}(x)=(4 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+3 x_{4}, x_{1}+\alpha x_{2}+3 x_{3},-3 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}-6 x_{4})
[/mm]
gegeben ist.Man bestimme in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] je eine Basis von Ker [mm] F_{\alpha} [/mm] und von Im [mm] F_{\alpha}. [/mm] Für welche [mm] \alpha [/mm] ist [mm] F_{\alpha} [/mm] injektiv,surjektiv oder bijektiv?
Danke schonmal im voraus!
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> Hey Leute!!
> Habe nen Problem mit folgender Aufgabe,weiß nämlich
> nicht,wie ich die machen soll:
Hallo,
woran scheitert es denn?
Sind die Begriffe klar?
Weißt Du, was der Kern einer Abbildung ist?
Wenn Dir der Begriff "Kern" klar ist, fang einfach an. Bestimme die Menge aller [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 } \in \IR^4 [/mm] mit [mm] F_{\alpha}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
(Soll Deine Abbildung eigentlich nach [mm] \IR^4 [/mm] gehen oder nach [mm] \IR^3?Das [/mm] steht oben anders als in der Zuordnungsvorschrift.)
Die Bestimmung des Kerns läuft auf die Lösung eines Linearen Gleichungssystems hinaus.
Wenn Du eine basis des Kerns gefunden hast, kannst Du diese zu einer basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen.
Das Bild dieser "Ergänzungsvektoren" ist ein Erzeugendensystem des Bildes.
Es sollte dann nicht mehr schwierig sein, eine Basis zu finden.
Für die Injektivität v. linearen Abbildungen habt ihr sicher bereits ein (wichtiges! Merken!) Kriterium kennengelernt.
Für die Surjektivität mußt Du Dir überlegen, welche Dimension dann das Bild haben muß.
Gruß v. Angela
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> Für [mm]\alpha \in \IR[/mm] betrachten wir die [mm]\IR[/mm]-lineare
> Abbildung [mm]F_{\alpha} :\IR^4 \to \IR^4[/mm] , die für beliebiges
> [mm]x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^4[/mm] durch
> [mm]F_{\alpha}(x)=(4 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+3 x_{4}, x_{1}+\alpha x_{2}+3 x_{3},-3 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}-6 x_{4})[/mm]
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> gegeben ist.Man bestimme in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] je eine
> Basis von Ker [mm]F_{\alpha}[/mm] und von Im [mm]F_{\alpha}.[/mm] Für welche
> [mm]\alpha[/mm] ist [mm]F_{\alpha}[/mm] injektiv,surjektiv oder bijektiv?
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> Danke schonmal im voraus!
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:38 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Mellen |
Hallo zusammen.
Ich habe für den Kern folgendes raus:
[mm]\ker (F)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)| x_3= -7x_1+(5\alpha-12)x_2 \ \text{und} \ x_4=-3x_1-3\alpha x_2\}[/mm]
Hab ich das richtig gerechnet? Und wenn ja, wie finde ich jetzt eine Basis dafür?
Vielen Dank im Voraus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Fr 09.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Mellen!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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