Lineare Abbildung zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Di 06.12.2005 | | Autor: | Monschn |
| Aufgabe | Es seien U, V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume und zwei lineare Abbildungen f: U --> V und g: U--> W.
Zeige: Es gibt genau dann eine lineare Abbildung [mm] \gamma [/mm] : V --> W mit [mm] \gamma \circ [/mm] f = g, wenn ker (f) [mm] \subset [/mm] ker(g) gilt. |
Hallo beisammen,
[mm] "\Rightarrow" [/mm] habe ich bereits gezeigt.
Es bleibt also nur noch [mm] "\Leftarrow" [/mm] zu zeigen.
Allerdings weiß ich nicht so recht, was ich überhaupt zeigen muss. Hab ich richtig verstanden, dass ich zeigen soll, dass [mm] \gamma [/mm] eine lineare Abbildung ist?? Oder muss ich zeigen, dass [mm] \gamma \circ [/mm] f = g ist??
Wie dem auch sei, ich habe schon in alle möglichen Richtungen gedacht, bin aber noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen.
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Ich habe also ker (f) [mm] \subset [/mm] ker (g) gegeben. Außerdem sind die Abbildungen f und g linear.
Aber was kann ich aus diesen Voraussetzungen basteln, so dass die "Rückrichtung" gezeigt ist.
Würde mich über Tipps sehr freuen.
Liebe Grüßle,
Monschn
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> Es seien U, V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume und
> zwei lineare Abbildungen f: U --> V und g: U--> W.
>
> Zeige: Es gibt genau dann eine lineare Abbildung [mm]\gamma[/mm] : V
> --> W mit [mm]\gamma \circ[/mm] f = g, wenn ker (f) [mm]\subset[/mm] ker(g)
> gilt.
> -----------
> Ich habe also ker (f) [mm]\subset[/mm] ker (g) gegeben. Außerdem
> sind die Abbildungen f und g linear.
> Aber was kann ich aus diesen Voraussetzungen basteln, so
> dass die "Rückrichtung" gezeigt ist.
Hallo,
Guck Dir die Bilder an.
Es ist dim bildf> dim bildg (weil kernf [mm] \subseteq [/mm] kerng)
Weil f,g linear, gibt es [mm] (a_1,...,a_r,a_{r+1},...a_s) [/mm] und [mm] (e_1,...e_r) [/mm] linear unabhängig mit
[mm] f(a_i)=b_i [/mm] und [mm] (b_1,...b_s) [/mm] Basis von bildf
und [mm] g(e_i)=c_i [/mm] und [mm] (c_1,...c_r) [/mm] Basis von bild g.
In diese Richtung würde ich mal weiterdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Monschn |
oje, ich sitze wieder einmal vor einem großen Fragezeichen.
Dass die dim bild f > dim bild g habe ich nachvollziehen können und klingt auch logisch.
Das mit der Basis ist mir aber noch nicht so klar. Da f linear ist, habe ich also linear unabhängige Vektoren [mm] (a_{1},...,a_{r},...a_{s}) [/mm] = [mm] a_{i} [/mm] wobei diese [mm] a_{i} \in [/mm] U sind. f von [mm] a_{i} [/mm] = [mm] b_{i} [/mm] mit i = 1, ... , s.
Diese [mm] b_{i} [/mm] bilden eine Basis von bild f. bild f ist ja ein Unterraum von V, also sind die [mm] b_{i} \in [/mm] V
analog die Abbildung g.
Habe ich das vom Sinn her richtig erfasst???
So, nun fehlt noch die Verbindung zur Abbildung [mm] \gamma [/mm] : V-->W mit [mm] \gamma \circ [/mm] f = g, wobei zu zeigen ist, dass [mm] \gamma [/mm] linear ist.
hm.......
ich habe linear unabhängige Vektoren [mm] b_{1},...,b_{s} \in [/mm] V, wobei diese Vektoren Basis von bild f sind.
o man, ich weiß nicht, was das mit [mm] \gamma [/mm] zu tun hat. Es werden ja nicht diese [mm] b_{i} [/mm] auf W abgebildet, oder??
Dankeschön aber für den Tipp, ich werde mir noch den Kopf darüber zerbrechen, aber vielleicht könntest du mir noch ein bisschen weiter auf die Sprünge helfen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Monschn!
Du brauchst hier gar keine Dimensionsargumente.
Es sei [mm] $\{u_1,\ldots,u_r\}$ [/mm] eine Basis von $Kern(f)$, die wir zu einer Basis [mm] $\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$ [/mm] von $U$ ergänzen. Ergänze nun die Basis [mm] $\{f(u_{r+1}),\ldots,f(u_n)\}$ [/mm] von $Bild(f)$ zu einer Basis [mm] $\{f(u_{r+1}),\ldots,f(u_n),v_{n+1},\ldots,v_{n+m}\}$ [/mm] von $V$.
Definiere [mm] $\gamma$ [/mm] auf dieser Basis wie folgt:
[mm] $\gamma(f(u_i)):=g(u_i)$ [/mm] für [mm] $i=r+1,\ldots,n$,
[/mm]
[mm] $\gamma(v_j):=0$ [/mm] für [mm] $j=n+1,\\ldots, [/mm] n+m$
und setze [mm] $\gamma$ [/mm] linear fort.
Wegen [mm] $Kern(f)\subset [/mm] Kern(g)$ gilt für [mm] $i\in\{u_1,\ldots,u_r\}$:
[/mm]
[mm] $\gamma(f(u_i)) [/mm] = [mm] \gamma(0) [/mm] = 0 = [mm] g(u_i)$,
[/mm]
d.h. [mm] $\gamma \circ [/mm] f$ und $g$ stimmen auf der Basis [mm] $\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$ [/mm] von $U$ überein und sind daher gleich.
Liebe Grüße
Julius
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