Lineare Abbildung beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum. Der K-Vektorraum V* = Hom k(V,K) heißt der Dualraum von V. Sei nun B= (b1,...,bn) eine Basis von V.
Beweisen Sie dimk V = dimk V* indem Sie zeigen, dass B*=(b1*,...,bi*)
eine Basis von V* ist |
Ich habe mal meinen Beweis verändert und wäre dankbar wenn ihn wer überprüfen könnte : )
Also sei (v1,...,vn) eine Basis von V. Dann gibt es ja zu beliebigen Vektoren
w1,...,wn e W genau eine lineare Abbildung. F:V->W mit f(vi)=wi(i=1,...,n)
Anders ausgedrückt kann man doch also die Bilder der Basis bel. vorschreiben oder ?
Durch die Bilder der Basis ist eine lineare Abbildung aber eindeutig bestimmt.
Wie du schon sagtest muss ich ja den Beweis zerlegen. Also in zwei Teilbehauptungen und die Existenz von f beweisen.
Als nächstes ergänze ich {v1,...,vr} zu einer Basis {v1,...,vn}
und stelle v als Linearkombination dar (Hab ich hier jetzt nicht alles aufgeschrieben aber kommentiert wie ich es hier gemacht habe)
um f(v) für einen beliebigen Vektor v e V zu definieren.
Ich ersetze also jedes vi durch wi
Ich habe nun die Behauotung überprüft das f eine lineare Abbildung ist ( Additivität, Homogenität)
und anschließend die Eindeutigkeit von f gezeigt
Bin ich bis hier auf der richtigen Spur ?
lg
Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Lippel |
> Beweisen Sie dimk V = dimk V* indem Sie zeigen, dass
> B*=(b1*,...,bi*)
> eine Basis von V* ist
Hallo, zunächst müsste in der Aufgabenstellung gegeben sein, dass V endlichdimensional ist und dass [mm] $B=(b_1,...,b_n)$ [/mm] eine Basis von V ist. Steht das irgendwo in der Aufgabe? Sonst macht sie nämlich wenig Sinn da nicht definiert ist was [mm] $B^\*=(b_1^\*,...,b_n^\*)$ [/mm] überhaupt ist.
> Sei (v1, ..., vn) eine Basis von V*. D.h., jeder Vektor
> aus V ist eindeutig als Linearkombination von (v1, ..., vn)
> darstellbar: v=(a1+i*b1)v1 + ...+(an+i*bn)vn, a1, ..., an,
> b1, ..., bn Î R. Deshalb kann man V* als R-Vektorraum
> auffassen, wobei die Vektoren v1, i*v1, v2, i*v2, ..., vn,
> i*vn ein Erzeugendensystem sind. Diese Vektoren sind aber
> R-linear unabhängig.
> Also bilden sie eine Basis des R-Vektorraums V* und dim V
> = dimk V
>
> Habe ich den Beweis Korrekt beschrieben ?
Du gehst nicht ganz richtig an die Aufgabe ran. Am Anfang wählst du dir ja eine beliebige Basis von [mm] $V^\*$ [/mm] und "zeigst" dann, dass diese Basis Basis ist.
Es ist aber noch nicht einmal klar, dass es überhaupt eine Basis gibt, wie kannst du dann einfach eine wählen. Außerdem sollst du ja gerade zeigen, dass [mm] $B^\*$ [/mm] eine Basis von [mm] $V^\*$ [/mm] ist. Darauf bist du überhaupt nicht eingegangen.
Was musst du also tun. Mach dir klar, was $V*$ ist, nämlich der Vektorraum der linearen Abbildungen von V in den zugrundeliegenden Körper K.
Ist nun [mm] $B=(b_1,...,b_n)$ [/mm] eine Basis von V, dann ist [mm] $b_i* \in [/mm] V*$ genau die lineare Abbildung, für die gilt: [mm] $b_i^\*(b_i)=1, b_i^\*(b_j)=0$ [/mm] für $j [mm] \not= [/mm] i$. Diese Abbildung ist damit wohlbestimmt da eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren des Ausgangsraumes (hier V) eindeutig bestimmt ist. Lass dir das nochmal durch den Kopf gehen, wenns dir noch nicht klar ist bzw. frag nochmal nach. Der Dualraum ist am Anfang etwas gewöhnungsbedürftig.
Um nun noch zu zeigen, dass [mm] $B^\*=(b_1^\*,...,b_n^\*)$ [/mm] eine Basis von [mm] $V^\*$ [/mm] ist, musst du zeigen, dass jedes [mm] $f\in V^\*$ [/mm] eindeutig durch [mm] $b_1^\*,...,b_n^\*$ [/mm] linear kombiniert werden kann. Nimm also ein beliebiges solches f und zeigen, dass es eine solche Linearkombination gibt.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Coup |
Habe die Aufgabenstellung und meinen BEweis aktualisiert und wäre super froh wenn ihn wer anschauen kann und mir sagt ob ich nun auf der richtigen Spur bin : )
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Lippel |
> Sei V ein K-Vektorraum. Der K-Vektorraum V* = Hom k(V,K)
> heißt der Dualraum von V. Sei nun B= (b1,...,bn) eine
> Basis von V.
>
> Beweisen Sie dimk V = dimk V* indem Sie zeigen, dass
> B*=(b1*,...,bi*)
> eine Basis von V* ist
>
> Ich habe mal meinen Beweis verändert und wäre dankbar
> wenn ihn wer überprüfen könnte : )
> Also sei (v1,...,vn) eine Basis von V.
> beliebigen Vektoren
> w1,...,wn e W genau eine lineare Abbildung. F:V->W mit
> f(vi)=wi(i=1,...,n)
> Anders ausgedrückt kann man doch also die Bilder der
> Basis bel. vorschreiben oder ?
Ja.
> Durch die Bilder der Basis ist eine lineare Abbildung aber
> eindeutig bestimmt.
Genau, wieso "aber"?
> Wie du schon sagtest muss ich ja den Beweis zerlegen. Also
> in zwei Teilbehauptungen und die Existenz von f beweisen.
Du musst nicht die Existenz von f beweisen sondern zeigen, dass es zu jedem beliebigen f aus [mm] $V^\*$ [/mm] eine eindeutige Linearkombination der [mm] $b_i^\*$ [/mm] gibt, sodass diese Linearkombination gerade f ergibt.
> Als nächstes ergänze ich {v1,...,vr} zu einer Basis
> {v1,...,vn}
> und stelle v als Linearkombination dar (Hab ich hier jetzt
> nicht alles aufgeschrieben aber kommentiert wie ich es hier
> gemacht habe)
Was ist [mm] $\{v_1,...,v_r\}$? [/mm] Warum arbeitest du nicht mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Basis von V.
> um f(v) für einen beliebigen Vektor v e V zu definieren.
> Ich ersetze also jedes vi durch wi
Wie gesagt, f kannst du nicht definieren, sondern sollst etwas für jedes beliebige f zeigen.
>
> Ich habe nun die Behauotung überprüft das f eine lineare
> Abbildung ist ( Additivität, Homogenität)
Das setzt du eigentlich voraus.
> und anschließend die Eindeutigkeit von f gezeigt
>
Ich gebe dir mal einen Ansatz:
Sei $f [mm] \in V^\* \Rightarrow \exists \lambda_1,...,\lambda_n \in [/mm] K: [mm] f(b_i)=\lambda_i \forall [/mm] i [mm] \in \{1,...,n\}$
[/mm]
Da f von V in den Körper K abbildet (das ist ja gerade die Definition des Dualraums) gibt es also zu jedem Basisvektor [mm] $b_i$ [/mm] von V ein Bild unter f in K, d.h. jeder Basisvektor wird auf eine Zahl abgebildet. Durch diese Bilder ist, wie du oben schon geschrieben hast, die Abbildung eindeutig festgelegt.
Nun kannst du zeigen dass gilt: [mm] $f=\lambda_1b_1^\*+...+\lambda_nb_n^\*$
[/mm]
Versuche dich einmal daran.
Viele Grüße, Lippel
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