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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 10.07.2010 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | Hinsichtlich der kanonischen Basis sei der linearen Abbildung Phi [mm] \IR^4 ->\IR^3
[/mm]
die Matrix A= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 5 & 0 \\5&1&-2&10}
[/mm]
Berechnen Sie die Bildvektoren von [mm] a=\vektor{1 \\ 0\\3\\-1}, b=\vektor{-1 \\ 2\\15\\-2}, c=\vektor{4\\ -3\\6\\-1} [/mm] |
Schönen guten Tag,
wäre sehr dankbar für Unterstützung bzgl der Aufgabe.
Ich kenne den Merksatz "Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren"
Wenn ich den richtig verstanden habe, entsteht die erste Spalte von a also durch Phi(e1) = [mm] \vektor{2 \\ -1\\5}
[/mm]
Aber inwiefern hilft mir das nun zur Bestimmung der Bildvektoren der anderen Vektoren?
Ich würde vermuten, dass ich die Vektoren einfach nur mit der Matrix multiplizieren muss, da wenn ich e1 damit multiplizieren erhalte ich die erste Spalte also sein Bildvektor.
Aber irgendwie leuchtet mir das alles nicht ganz ein.
Hab irgendwie Probleme damit, die Begriffe der linearen Abbildung , die Basen und die zugehörigen Matrixen unter einen Hut zu bringen.
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Hallo flare,
> Hinsichtlich der kanonischen Basis sei der linearen
> Abbildung Phi [mm]\IR^4 ->\IR^3[/mm]
> die Matrix A= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 5 & 0 \\5&1&-2&10}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Bildvektoren von [mm]a=\vektor{1 \\ 0\\3\\-1}, b=\vektor{-1 \\ 2\\15\\-2}, c=\vektor{4\\ -3\\6\\-1}[/mm]
>
> Schönen guten Tag,
>
> wäre sehr dankbar für Unterstützung bzgl der Aufgabe.
>
> Ich kenne den Merksatz "Spalten der Matrix sind die Bilder
> der Einheitsvektoren"
> Wenn ich den richtig verstanden habe, entsteht die erste
> Spalte von a also durch Phi(e1) = [mm]\vektor{2 \\ -1\\5}[/mm]
Ja, es ist [mm] $\varphi(e_1)=\varphi\vektor{1\\0\\0\\0}=\vektor{2\\-1\\5}=2\cdot{}\vektor{1\\0\\0}-1\cdot{}\vektor{0\\1\\0}+5\cdot{}\vektor{0\\0\\1}$
[/mm]
> Aber
> inwiefern hilft mir das nun zur Bestimmung der Bildvektoren
> der anderen Vektoren?
Nutze doch die Linearität von [mm] $\varphi$ [/mm]
Für den ersten: es ist [mm] $a=\vektor{1\\0\\3\\-1}=1\cdot{}\vektor{1\\0\\0\\0}+0\cdot{}\vektor{0\\1\\0\\0}+3\cdot{}\vektor{0\\0\\1\\0}-1\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\1}$
[/mm]
Also [mm] $\varphi(a)=\varphi(1\cdot{}e_1+0\cdot{}e_2+3\cdot{}e_3-1\cdot{}e_4)=1\cdot{}\varphi(e_1)+0\cdot{}\varphi(e_2)+3\cdot{}\varphi(e_3)-1\cdot{}\varphi(e_4)=\ldots$
[/mm]
> Ich würde vermuten, dass ich die Vektoren einfach nur mit
> der Matrix multiplizieren muss, da wenn ich e1 damit
> multiplizieren erhalte ich die erste Spalte also sein
> Bildvektor.
> Aber irgendwie leuchtet mir das alles nicht ganz ein.
> Hab irgendwie Probleme damit, die Begriffe der linearen
> Abbildung , die Basen und die zugehörigen Matrixen unter
> einen Hut zu bringen.
Gruß
schachuzipus
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