Lineare Abbildung (Bild/Kern) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hab 'ne Übungsaufgabe im Internet gefunden:
Bild berechnen:
F: [mm] \IR^{3}->\IR^{3}
[/mm]
F= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ 1 & -1 -6 }
[/mm]
Ich komm da auf:
Kern(F)=< [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] >
also dim(Kern)=1
und dann auch dim(Bild)=1. [mm] (<\vektor{2 \\ 1 \\ 1}>
[/mm]
Aber es muss doch dim(Bild)+dim(Kern)=3 sein, in diesem Fall..
Ich seh hier meinen Fehler nicht... *verwirrt*
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 26.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
wenn du willst, dass wir deinen fehler suchen müsstets du schon die rechnung posten, deshalb mache ich jtzt nur mal eine kurze bemerkung, die sich dann vielleicht deinen fehler selber finden lässt?
> Hab 'ne Übungsaufgabe im Internet gefunden:
> Bild berechnen:
> F: [mm]\IR^{3}->\IR^{3}
[/mm]
> F= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ 1 & -1 -6 }
[/mm]
>
> Ich komm da auf:
>
> Kern(F)=< [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] >
> also dim(Kern)=1
>
> und dann auch dim(Bild)=1. [mm](<\vektor{2 \\ 1 \\ 1}>
[/mm]
>
> Aber es muss doch dim(Bild)+dim(Kern)=3 sein, in diesem
> Fall..
ja genau. das ist ein sehr gutes kriterium um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hat.
betrachte mal das bild des zweiten und dritten einheitsvektors, das ist: [m] \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right) [/m] bzw. [m] \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -6 \end{array} \right) [/m] (wenn ich deine abbildungsmatrix richtig interpretiere?), also [m] \left<\left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -6 \end{array} \right) \right> \subseteq \textrm{bild} F [/m] und da die beiden vektoren offensichtlich linear unabhängig sind: [m] 2 \leq \dim \textrm{bild} F [/m]
> Ich seh hier meinen Fehler nicht... *verwirrt*
hoffe, ich konnte damit etwas gegen deine verwirrung tun.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Danke Andreas ! *g*
Nee, ich wollte nur genau, das was du gemacht hast, mir sagen, dass die dim vom Bild eigentlich 2 ist !
Ich dachte schon, unter irgendwelchen mysteriösen Umständen könnte man die Dimensionsformel im endlichen nicht benutzen,....... (würd mich zwar wundern, aber naja.. *g*).
Hab meinen Fehler gefunden, der sah so aus, dass ich irgendwie beim ganzen Rechnen heute, die transponierte Matrix auf Zeilenstufenform gebracht habe und dann da irgendwas versuchte zu rechnen, dabei hatte ich schon die Lösung........
Wobei eine Frage hätte ich da schon noch:
Ist es eigentlich richtig, dass man die Dimensionsformel (zum Abkürzen) nur anwenden kann, wenn z.B.
F: [mm] R^{4}->R^{3} [/mm] (V->W)
und sich nach Rechnen herausstellt dim(Kern)=1
Also dim(Bild)=3 sein müßte.
Was ja = dim(W) ist.
Dass man halt nur dann sagen, kann, ich wähle mir die kanonische Basis des [mm] R^{3}, [/mm] und berechne die Bilder ?
Oder gilt das immer, halt auch wenn dim(Kern) nicht gleich der Unterschied zwischen V und W ist ?
Irgendwie haben sich da unsere Tutoren mal drüber gestritten...
Faenôl
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Hallo!
> Ist es eigentlich richtig, dass man die Dimensionsformel
> (zum Abkürzen) nur anwenden kann, wenn z.B.
> F: [mm]R^{4}->R^{3}[/mm] (V->W)
> und sich nach Rechnen herausstellt dim(Kern)=1
> Also dim(Bild)=3 sein müßte.
Ja, wenn du weisst, dass dim(Kern)=1 ist, folgt daraus, dass dim(Bild)=3 ist.
> Was ja = dim(W) ist.
Genau, in diesem Fall ist F also sogar eine surjektive Abbildung.
> Dass man halt nur dann sagen, kann, ich wähle mir die
> kanonische Basis des [mm]R^{3},[/mm] und berechne die Bilder ?
Bild(F) ist hier der ganze [mm] R^3, [/mm] also kannst du z.B. die kanonische Basis des [mm] R^3 [/mm] als Basis des Bildes waehlen. Was meinst du mit "berechne die Bilder"?
> Oder gilt das immer, halt auch wenn dim(Kern) nicht gleich
> der Unterschied zwischen V und W ist ?
Ich verstehe nicht was du meinst.
Wenn dim(Kern) = dim(W) - dim(V) ist, dann ist notwendig dim(Bild) = dim(W) und F ist surjektiv, also Bild(F) = W. Kleiner kann dim(Kern) nicht sein, und wenn's groesser ist, dann ist Bild(F) eben ein echter Teilraum von W, mit dim(Bild)<dim(W).
Gruss,
SirJective
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