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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:26 Mo 25.03.2013 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Ich bin mal wieder auf eine schöne Aufgabe gestoßen, die ich diesem Forum nicht vorenthalten möchte:
Sei $ n [mm] \in \IN$, [/mm] $S$ eine endliche Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] mit $0 [mm] \in [/mm] S$ und $g:S [mm] \to [/mm] S$ eine Abbildung mit den Eigenschaften
$g(0)=0$
und
[mm] ||g(s)-g(t)||_2=||s-t||_2 [/mm] für alle $s,t [mm] \in [/mm] S$.
[mm] (||*||_2 [/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm] \IR^n)
[/mm]
Man zeige, dass es eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] gibt mit der Eigenschaft [mm] f_{|S}=g. [/mm] |
Es wäre nett, wenn sich einer der Moderatoren die Mühe machen würde, die Aufgabe in der üblichen Weise zu dekorieren.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 26.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin mal wieder auf eine schöne Aufgabe gestoßen, die
> ich diesem Forum nicht vorenthalten möchte:
>
> Sei [mm]n \in \IN[/mm], [mm]S[/mm] eine endliche Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] mit [mm]0 \in S[/mm]
> und [mm]g:S \to S[/mm] eine Abbildung mit den Eigenschaften
>
> [mm]g(0)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]||g(s)-g(t)||_2=||s-t||_2[/mm] für alle [mm]s,t \in S[/mm].
>
> [mm](||*||_2[/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm]\IR^n)[/mm]
>
> Man zeige, dass es eine lineare Abbildung [mm]f: \IR^n \to \IR^n[/mm]
> gibt mit der Eigenschaft [mm]f_{|S}=g.[/mm]
> Es wäre nett, wenn sich einer der Moderatoren die Mühe
> machen würde, die Aufgabe in der üblichen Weise zu
> dekorieren.
>
> Gruß FRED
Da bislang noch keine Reaktionen kamen, möchte ich einige Hinweise geben, dabei bezeichne $<*,*>$ das Standardskalarprodukt auf dem [mm] \IR^n [/mm] :
1. Zeige: $<g(s),g(t)>=<s,t>$ für alle $s,t [mm] \in [/mm] S$
2. Sei $V$ die lineare Hülle von $S$ und $B$ eine Basis von $V$ mit $B [mm] \subset [/mm] S$. Definiere $f:B [mm] \to [/mm] V$ durch
$f(b):=g(b)$ für $b [mm] \in [/mm] B$.
Setze dann $f$ linear auf $V$ fort.
3. Zeige, dass $f$ auf $V$ injektiv ist. Damit hat man dann auch $f(V)=V$.
4. Zeige: $f(s)-g(s) [mm] \in V^{\perp}$ [/mm] für $s [mm] \in [/mm] S$.
5. Aus 4. folgt: $ [mm] f_{|S}=g. [/mm] $
Wie es nun weitergeht, sollte klar sein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Sa 10.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> > Ich bin mal wieder auf eine schöne Aufgabe gestoßen, die
> > ich diesem Forum nicht vorenthalten möchte:
> >
> > Sei [mm]n \in \IN[/mm], [mm]S[/mm] eine endliche Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] mit [mm]0 \in S[/mm]
> > und [mm]g:S \to S[/mm] eine Abbildung mit den Eigenschaften
> >
> > [mm]g(0)=0[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]||g(s)-g(t)||_2=||s-t||_2[/mm] für alle [mm]s,t \in S[/mm].
> >
> > [mm](||*||_2[/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm]\IR^n)[/mm]
> >
> > Man zeige, dass es eine lineare Abbildung [mm]f: \IR^n \to \IR^n[/mm]
> > gibt mit der Eigenschaft [mm]f_{|S}=g.[/mm]
> > Es wäre nett, wenn sich einer der Moderatoren die
> Mühe
> > machen würde, die Aufgabe in der üblichen Weise zu
> > dekorieren.
>
>
> Da bislang noch keine Reaktionen kamen, möchte ich einige
> Hinweise geben, dabei bezeichne [mm]<*,*>[/mm] das
> Standardskalarprodukt auf dem [mm]\IR^n[/mm] :
>
> 1. Zeige: [mm]=[/mm] für alle [mm]s,t \in S[/mm]
Wenn man weiss, was die Beziehung zwischen Skalarprodukt und (euklidischer) Norm ist, ist das einfach.
> 2. Sei [mm]V[/mm] die lineare Hülle von [mm]S[/mm] und [mm]B[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm]
> mit [mm]B \subset S[/mm]. Definiere [mm]f:B \to V[/mm] durch
>
> [mm]f(b):=g(b)[/mm] für [mm]b \in B[/mm].
>
> Setze dann [mm]f[/mm] linear auf [mm]V[/mm] fort.
Wieso liegt denn $g(b) [mm] \in [/mm] V$? Das muss doch nicht der Fall sein.
> 3. Zeige, dass [mm]f[/mm] auf [mm]V[/mm] injektiv ist. Damit hat man dann
> auch [mm]f(V)=V[/mm].
Es gilt zumindest [mm] $\dim_K [/mm] f(V) = [mm] \dim_K [/mm] V$, aber nicht umbedingt $f(V) = V$.
Aber $f(V) = V$ braucht man auch nicht, oder?
> 4. Zeige: [mm]f(s)-g(s) \in V^{\perp}[/mm] für [mm]s \in S[/mm].
Das sollte wieder mit der Skalarprodukt/Norm-Beziehung gehen.
> 5. Aus 4. folgt: [mm]f_{|S}=g.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie es nun weitergeht, sollte klar sein.
Man setzt $B$ zu einer Basis von [mm] $\IR^n$ [/mm] fort und waehlt die restlichen Werte von $f(b)$, $b [mm] \in [/mm] B$ zufaellig.
Aber: ist [mm] $f|_V$ [/mm] nicht bereits eine orthogonale Abbildung? Und wenn man es passend fortsetzt, ebenfalls $f : [mm] \IR^n \to \IR^n$? [/mm] Und nicht einfach nur linear?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Di 26.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits!
Bitte auf diese Frage nicht antworten, es ist ja auch gar keine.
Dieser Frageartikel dient nur dazu, die Übungsaufgabe sichtbar zu halten.
Grüße
reverend
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