Lineare Abbildung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, ich hätte folgende Frage zu lösen:
Beweise bzw. widerlege folgende Aussage
Für jede lineare Abbildung f: [mm] \IR^{4} \rightarrow \IR^{4} [/mm] und jeden Teilraum W von [mm] \IR^{4} [/mm] gilt dimW [mm] \ge [/mm] dim f(W) |
Ok ich nehme an, dass diese Aussage wahr ist.
Da sich die Abbildung doch in den selben Vektorraum verläuft, also vom [mm] \IR^{4} [/mm] in den [mm] \IR^{4} [/mm] und zusätzlich einen Unteraum mit (in diesem Fall) höchster Dimension habe. So kann das Bild niemals größer sein.
Selbst wenn ich die Identiätsabbildung verwende, sehe ich das die Dimension gleich bleibt und somit meine Aussage wahr belibt.
Kann man das so sagen?
Danke euch :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, ich hätte folgende Frage zu lösen:
>
> Beweise bzw. widerlege folgende Aussage
>
> Für jede lineare Abbildung f: [mm]\IR^{4} \rightarrow \IR^{4}[/mm]
> und jeden Teilraum W von [mm]\IR^{4}[/mm] gilt dimW [mm]\ge[/mm] dim f(W)
> Ok ich nehme an, dass diese Aussage wahr ist.
>
> Da sich die Abbildung doch in den selben Vektorraum
> verläuft, also vom [mm]\IR^{4}[/mm] in den [mm]\IR^{4}[/mm] und zusätzlich
> einen Unteraum mit (in diesem Fall) höchster Dimension
> habe. So kann das Bild niemals größer sein.
>
> Selbst wenn ich die Identiätsabbildung verwende, sehe ich
> das die Dimension gleich bleibt und somit meine Aussage
> wahr belibt.
>
> Kann man das so sagen?
Nein. Das hat mit Mathematik nichts zu tun.
Schränke f auf W ein. Betrachte also
f:W [mm] \to \IR^4.
[/mm]
Wende nun den Dimensionssatz an.
FRED
>
> Danke euch :)
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> Nein. Das hat mit Mathematik nichts zu tun.
>
> Schränke f auf W ein. Betrachte also
>
> f:W [mm]\to \IR^4.[/mm]
>
> Wende nun den Dimensionssatz an.
>
Ok mach ich:
Dimensionsatz lautet:
dimV = dim(Bild) + dim(Kern)
bei der Abbildung f:W [mm]\to \IR^4.[/mm] gilt nun:
dimW= 4 + dim(kern)
Da ich aber weiß das W auch dim 4 hat, so muss der Kern 0 haben.
Also:
4 = 4 + 0
Folgerung: Die Dimension von Bild kann nicht größer als 4 werden, somit ist die Aussage wahr
> FRED
> >
> > Danke euch :)
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
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> >
> > Nein. Das hat mit Mathematik nichts zu tun.
> >
> > Schränke f auf W ein. Betrachte also
> >
> > f:W [mm]\to \IR^4.[/mm]
> >
> > Wende nun den Dimensionssatz an.
> >
>
> Ok mach ich:
>
> Dimensionsatz lautet:
>
> dimV = dim(Bild) + dim(Kern)
>
> bei der Abbildung f:W [mm]\to \IR^4.[/mm] gilt nun:
>
> dimW= 4 + dim(kern)
Wieso ist dim Bild(f)=4 ??? Niemand sagt das !
>
> Da ich aber weiß das W auch dim 4 hat,
Wer hat das gesagt ???
> so muss der Kern 0
> haben.
>
> Also:
>
> 4 = 4 + 0
>
> Folgerung: Die Dimension von Bild kann nicht größer als 4
> werden,
Das ist doch trivial, denn f(W) ist eine Teilmenge des [mm] \IR^4
[/mm]
> somit ist die Aussage wahr
Nicht so hastig !
Wir haben:
$dim ~W = dim~f(W) +dim~ [mm] kern(f_{|W})$
[/mm]
Bedenke, dass $dim [mm] ~kern(f_{|W}) \ge [/mm] 0$ ist.
FRED
>
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> > FRED
> > >
> > > Danke euch :)
> >
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> > >
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> > > Nein. Das hat mit Mathematik nichts zu tun.
> > >
> > > Schränke f auf W ein. Betrachte also
> > >
> > > f:W [mm]\to \IR^4.[/mm]
> > >
> > > Wende nun den Dimensionssatz an.
> > >
> >
> > Ok mach ich:
> >
> > Dimensionsatz lautet:
> >
> > dimV = dim(Bild) + dim(Kern)
> >
> > bei der Abbildung f:W [mm]\to \IR^4.[/mm] gilt nun:
> >
> > dimW= 4 + dim(kern)
>
> Wieso ist dim Bild(f)=4 ??? Niemand sagt das !
>
> >
> > Da ich aber weiß das W auch dim 4 hat,
Habe das in meiner Angabe verwechselt....
>
> Wer hat das gesagt ???
>
> > so muss der Kern 0
> > haben.
> >
> > Also:
> >
> > 4 = 4 + 0
> >
> > Folgerung: Die Dimension von Bild kann nicht größer als 4
> > werden,
>
> Das ist doch trivial, denn f(W) ist eine Teilmenge des
> [mm]\IR^4[/mm]
>
> > somit ist die Aussage wahr
>
> Nicht so hastig !
>
> Wir haben:
>
> [mm]dim ~W = dim~f(W) + dim kern(f_{|W})[/mm]
>
> Bedenke, dass [mm]dim ~kern(f_{|W}) \ge 0[/mm] ist.
hmm aber da steht doch schon alles, was wir wollen oder?
Das die Dimension von W aus der Summe von $dim f(W)$ und dim~ [mm] kern(f_{|W}) [/mm] besteht. Somit kann $dim f(W)$ doch nicht größer sein als dimV oder?
>
> FRED
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> > > FRED
> > > >
> > > > Danke euch :)
> > >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > > >
> > > > Nein. Das hat mit Mathematik nichts zu tun.
> > > >
> > > > Schränke f auf W ein. Betrachte also
> > > >
> > > > f:W [mm]\to \IR^4.[/mm]
> > > >
> > > > Wende nun den Dimensionssatz an.
> > > >
> > >
> > > Ok mach ich:
> > >
> > > Dimensionsatz lautet:
> > >
> > > dimV = dim(Bild) + dim(Kern)
> > >
> > > bei der Abbildung f:W [mm]\to \IR^4.[/mm] gilt nun:
> > >
> > > dimW= 4 + dim(kern)
> >
> > Wieso ist dim Bild(f)=4 ??? Niemand sagt das !
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> > >
> > > Da ich aber weiß das W auch dim 4 hat,
>
> Habe das in meiner Angabe verwechselt....
> >
> > Wer hat das gesagt ???
> >
> > > so muss der Kern 0
> > > haben.
> > >
> > > Also:
> > >
> > > 4 = 4 + 0
> > >
> > > Folgerung: Die Dimension von Bild kann nicht größer als 4
> > > werden,
> >
> > Das ist doch trivial, denn f(W) ist eine Teilmenge des
> > [mm]\IR^4[/mm]
> >
> > > somit ist die Aussage wahr
> >
> > Nicht so hastig !
> >
> > Wir haben:
> >
> > [mm]dim ~W = dim~f(W) + dim kern(f_{|W})[/mm]
> >
> > Bedenke, dass [mm]dim ~kern(f_{|W}) \ge 0[/mm] ist.
>
> hmm aber da steht doch schon alles, was wir wollen oder?
>
> Das die Dimension von W aus der Summe von [mm]dim f(W)[/mm] und dim~
> [mm]kern(f_{|W})[/mm] besteht. Somit kann [mm]dim f(W)[/mm] doch nicht
> größer sein als dimV oder?
Ja
[mm]dim ~W = dim~f(W) + dim kern(f_{|W}) \ge dim~f(W) + 0= dim~f(W)[/mm]
FRED
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> > FRED
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> > > > FRED
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> > > > > Danke euch :)
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> > > > > Nein. Das hat mit Mathematik nichts zu tun.
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> > > > > Schränke f auf W ein. Betrachte also
> > > > >
> > > > > f:W [mm]\to \IR^4.[/mm]
> > > > >
> > > > > Wende nun den Dimensionssatz an.
> > > > >
> > > >
> > > > Ok mach ich:
> > > >
> > > > Dimensionsatz lautet:
> > > >
> > > > dimV = dim(Bild) + dim(Kern)
> > > >
> > > > bei der Abbildung f:W [mm]\to \IR^4.[/mm] gilt nun:
> > > >
> > > > dimW= 4 + dim(kern)
> > >
> > > Wieso ist dim Bild(f)=4 ??? Niemand sagt das !
> >
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> > > > Da ich aber weiß das W auch dim 4 hat,
> >
> > Habe das in meiner Angabe verwechselt....
> > >
> > > Wer hat das gesagt ???
> > >
> > > > so muss der Kern 0
> > > > haben.
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> > > > Also:
> > > >
> > > > 4 = 4 + 0
> > > >
> > > > Folgerung: Die Dimension von Bild kann nicht größer als 4
> > > > werden,
> > >
> > > Das ist doch trivial, denn f(W) ist eine Teilmenge des
> > > [mm]\IR^4[/mm]
> > >
> > > > somit ist die Aussage wahr
> > >
> > > Nicht so hastig !
> > >
> > > Wir haben:
> > >
> > > [mm]dim ~W = dim~f(W) + dim kern(f_{|W})[/mm]
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> > > Bedenke, dass [mm]dim ~kern(f_{|W}) \ge 0[/mm] ist.
> >
> > hmm aber da steht doch schon alles, was wir wollen oder?
> >
> > Das die Dimension von W aus der Summe von [mm]dim f(W)[/mm] und dim~
> > [mm]kern(f_{|W})[/mm] besteht. Somit kann [mm]dim f(W)[/mm] doch nicht
> > größer sein als dimV oder?
>
> Ja
>
> [mm]dim ~W = dim~f(W) + dim kern(f_{|W}) \ge dim~f(W) + 0= dim~f(W)[/mm]
>
Ok danke dir
:)
> FRED
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> > > FRED
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> > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > > Danke euch :)
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