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| Aufgabe | g: [mm] K^{n,1} \to [/mm] K , x [mm] \to x^{T}Ax
[/mm]
Ist g linear? Zeigen Sie, dass g=0 ist genau dann wenn A + [mm] A^T [/mm] = 0 gilt. |
Hallo,
den Teil mit linear habe ich bereits gemacht. g ist nicht linear da,
f(kv) = [mm] (kv)^T [/mm] A(kv) = [mm] k^2 v^T [/mm] Av = [mm] k^2 [/mm] f(kv) [mm] \not= [/mm] k f(kv)
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K
Ist das richtig?
Beim 2. Teil muss ich ja zeigen: g=0 [mm] \gdw [/mm] A + [mm] A^T [/mm] = 0
Ich habe irgendwie hier kein Ansatz... Könnt ihr mir da helfen?
Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Di 28.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> g: [mm]K^{n,1} \to[/mm] K , x [mm]\to x^{T}Ax[/mm]
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> Ist g linear? Zeigen Sie, dass g=0 ist genau dann wenn A +
> [mm]A^T[/mm] = 0 gilt.
> Hallo,
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> den Teil mit linear habe ich bereits gemacht. g ist nicht
> linear da,
>
> f(kv) = [mm](kv)^T[/mm] A(kv) = [mm]k^2 v^T[/mm] Av = [mm]k^2[/mm] f(kv) [mm]\not=[/mm] k
> f(kv)
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
Hier ist $V = [mm] K^{n,1}$?
[/mm]
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\in[/mm] K
>
> Ist das richtig?
Jain. Wenn fuer alle $k [mm] \in [/mm] K$ gilt [mm] $k^2 [/mm] = k$, dann ist das noch kein Widerspruch. (Wann ist dies der Fall? Was ist mit der Additivitaet in dem Fall?)
> Beim 2. Teil muss ich ja zeigen: g=0 [mm]\gdw[/mm] A + [mm]A^T[/mm] = 0
> Ich habe irgendwie hier kein Ansatz... Könnt ihr mir da
> helfen?
Nun, versuch doch erstmal die eine Richtung. Angenommen, $A + [mm] A^T [/mm] = 0$. Schreibe erstmal mit $v = [mm] (v_1, \dots, v_n)$ [/mm] und $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] den Wert $g(v)$ aus. Beachte, dass [mm] $v_i v_j [/mm] = [mm] v_j v_i$ [/mm] und nach Annahme [mm] $a_{ij} [/mm] + [mm] a_{ji} [/mm] = 0$ ist. Was bleibt uebrig?
Hier musst du den Fall beachten, dass in $K$ gelten kann $k = -k$ auch fuer Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$! (Das ist aber nur in ganz bestimmten Koerpern der Fall.)
Fuer die andere Richtung schau dir Vektoren $v$ an, bei denen genau einer oder zwei Eintraege [mm] $\neq [/mm] 0$ sind. Berechne $g(v)$ fuer solche Vektoren.
LG Felix
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So könnte ich doch anfangen....
(i) g(kv) = [mm] (kv)^T [/mm] A(kv) = [mm] k^2 v^T [/mm] Av = [mm] k^2 [/mm] f(kv) [mm] \not= [/mm] k g(kv)
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in K^{n,1}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K
Fallunterscheidung:
k [mm] \not= [/mm] -1 oder 0 oder 1 [mm] \Rightarrow [/mm] (möglich) linear,
sonst f n. linear
(ii) g(v+w) = [mm](v+w)^T[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] + [mm]w^T)[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] A + [mm]w^T[/mm] A)(v+w) =
[mm] v^T [/mm] A v + [mm] v^T [/mm] A w + [mm] w^T [/mm] A v + [mm] w^T [/mm] A w [mm]\not=[/mm] g(v) + g(w)
[mm] \Rightarrow v^T [/mm] (A + [mm] A^T) [/mm] w = [mm] v^T [/mm] A w + [mm] v^T A^T [/mm] w [mm] \not= [/mm] 0
(Aber warum folgt diese Gleichung???)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 02.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich hab nicht unbedingt viel Ahnung, aber ist die Aufgabe, wie du sie gemacht hast, nicht falsch? Dein v müsste doch in K n,1 sein? Du sagst v [mm] \in [/mm] V, aber hast V nicht in der Aufgabe zuvor auch nur erwähnt bzw definiert. Außerdem woher kommt bei dir f? Wir reden doch von einer Abbildung g!
Nach der Aufgabenstellung ist x [mm] \in [/mm] K n,1 . Um zu beweisen, dass g linear ist, muss man unter anderem zeigen, dass g(kx)=kg(x) ist. Wenn man beide Seiten umformt müsste das doch funktionieren:
g(kx)= kx T Ax
kg(x)=k(x T Ax)=kx T Ax
Oder verstehe ich das vollkommen falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich hab nicht unbedingt viel Ahnung, aber ist die Aufgabe,
> wie du sie gemacht hast, nicht falsch? Dein v müsste doch
> in K n,1 sein? Du sagst v [mm]\in[/mm] V, aber hast V
> nicht in der Aufgabe zuvor auch nur erwähnt bzw definiert.
> Außerdem woher kommt bei dir f? Wir reden doch von einer
> Abbildung g!
>
> Nach der Aufgabenstellung ist x [mm]\in[/mm] K n,1 . Um
> zu beweisen, dass g linear ist, muss man unter anderem
> zeigen, dass g(kx)=kg(x) ist. Wenn man beide Seiten umformt
> müsste das doch funktionieren:
>
> g(kx)= kx T Ax
Nein: g(kx)=(kx) T A(kx)
FRED
>
> kg(x)=k(x T Ax)=kx T Ax
>
> Oder verstehe ich das vollkommen falsch?
>
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Okay. Ich fang nochmal von vorne an.
1.) z.z.: g(v+w)=g(v)+g(w) [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in K^{n,1} [/mm]
g(v+w) = [mm] (v+w)^T [/mm] A (v+w) = [mm] (v^T [/mm] + [mm] w^T) [/mm] A (v+w) = [mm] (v^T [/mm] A + [mm] w^T [/mm] A)(v+w) [mm] \not= [/mm] g(v) + g(w)
Ist somit dann g nicht linear, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay. Ich fang nochmal von vorne an.
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> 1.) z.z.: g(v+w)=g(v)+g(w) [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in K^{n,1}[/mm]
>
> g(v+w) = [mm](v+w)^T[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] + [mm]w^T)[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] A +
> [mm]w^T[/mm] A)(v+w) [mm]\not=[/mm] g(v) + g(w)
Ja, und warum gilt [mm]\not=[/mm] ???
FRED
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> Ist somit dann g nicht linear, oder?
>
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g(v+w) = [mm](v+w)^T[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] + [mm]w^T)[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] A + [mm]w^T[/mm] A)(v+w) =
[mm] v^T [/mm] A v + [mm] v^T [/mm] A w + [mm] w^T [/mm] A v + [mm] w^T [/mm] A w [mm]\not=[/mm] g(v) + g(w)
Ist es so besser???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 30.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> g(v+w) = [mm](v+w)^T[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] + [mm]w^T)[/mm] A (v+w) = [mm](v^T[/mm] A +
> [mm]w^T[/mm] A)(v+w) =
> [mm]v^T[/mm] A v + [mm]v^T[/mm] A w + [mm]w^T[/mm] A v + [mm]w^T[/mm] A w [mm]\not=[/mm] g(v) + g(w)
Naja, Gleichheit kann trotzdem noch gelten! Etwa falls $A = 0$ ist. (Oder, wie in der Aufgabenstellung, $g = 0$ ist.)
Wenn du auf beiden Seiten $g(v)$ und $g(w)$ abziehst, bleibt die Ungleichung [mm] $v^T [/mm] A w + [mm] w^T [/mm] A v [mm] \neq [/mm] 0$ uebrig. Das ist aequivalent zu [mm] $v^T [/mm] (A + [mm] A^T) [/mm] w = [mm] v^T [/mm] A w + [mm] v^T A^T [/mm] w [mm] \neq [/mm] 0$.
Du musst jetzt zeigen, dass es gewisse $v, w$ gibt, so dass dies erfuellt ist (dann ist es nicht linear). Oder halt zeigen, dass es keine gibt (in dem Fall waer es additiv linear).
LG Felix
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