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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Do 02.06.2011 | | Autor: | Somusa |
| Aufgabe | | Sei [mm] A:\IR^{n}\to\IR^{m} [/mm] lineare Abb. $n>m$ und bezüglich der Zerlegung [mm] \IR^{n}=V_{1}\times V_{2} [/mm] mit [mm] V_{1}=\IR^{n-m} [/mm] und [mm] V_{2}=\IR^{m} [/mm] Sei [mm] A|V_{2} [/mm] : [mm] V_{2}\to\IR^{m} [/mm] von vollem Rang m. Zeigen sie es gibt eine lineare Abb. $g: [mm] V_{1}\to V_{2}$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] x\in V_{1} [/mm] und [mm] y\in V_{2} [/mm] gilt: $A(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] y=g(x)$ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
also was diese Aufgabe betrifft muss ich sagen steht ich ziemlich auf dem Schlauch. Mir fehlt sozusagen der Ansatz.
Das einzige was ich bisher der Aufgabenstellung entnommen hab ist , dass [mm] A|V_{2} [/mm] wohl bijektiv ist da der Rang voll ist, zumindest sofern mich meine AGLA - Kenntnisse nicht täuschen. Eine Frage wäre nun ob ich z.B. anstatt A(x,y)=0 auch die Zerlegungen betrachten darf, also [mm] V_{1}\to \IR^{m} [/mm] = 0 und [mm] V_{2}\to \IR^{m} [/mm] = 0, da ich ja zumindest schon über den 2.ten fall weiß das es bijektiv ist.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
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> Sei [mm]A:\IR^{n}\to\IR^{m}[/mm] lineare Abb. [mm]n>m[/mm] und bezüglich der
> Zerlegung [mm]\IR^{n}=V_{1}\times V_{2}[/mm] mit [mm]V_{1}=\IR^{n-m}[/mm] und
> [mm]V_{2}=\IR^{m}[/mm] Sei [mm]A|V_{2}[/mm] : [mm]V_{2}\to\IR^{m}[/mm] von vollem Rang
> m. Zeigen sie es gibt eine lineare Abb. [mm]g: V_{1}\to V_{2}[/mm]
> gibt, so dass für alle [mm]x\in V_{1}[/mm] und [mm]y\in V_{2}[/mm] gilt:
> [mm]A(x,y)=0 \gdw y=g(x)[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich finde die Aufgabe nicht so glücklich formuliert.
> Das einzige was ich bisher der Aufgabenstellung entnommen
> hab ist , dass [mm]A|V_{2}[/mm] wohl bijektiv ist da der Rang voll
> ist,
Ja.
Diese Einschränkung von A auf [mm] \IR^m [/mm] müssen wir mal genauer angucken.
Es ist hier die Einschränkung von A auf [mm] \{0_{\IR^{n-m}}\} \times \IR^m [/mm] gemeint, und von dieser wissen wir, daß sie lt. Voraussetzung bijektiv ist.
Behautet wird nun, daß eine lineare Abbildung g existiert mit
g(x):=y , wobei A(x,y)=0.
Dreh- und Angelpunkt ist die Wohldefiniertheit dieser Abbildung.
Man muß ja sicher sein, daß es nicht zwei verschiedene [mm] y_1, y_2 [/mm] gibt mit [mm] A(x,y_1)=0 [/mm] und [mm] A(x,y_2)=0.
[/mm]
Hierüber mußt Du nun nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Hi, herzlichen Dank für das schöne Willkommen! :D
> Es ist hier die Einschränkung von A auf [mm]\{0_{\IR^{n-m}}\} \times \IR^m[/mm]
> gemeint, und von dieser wissen wir, daß sie lt.
> Voraussetzung bijektiv ist.
Hier ist mir nicht klar was du mit [mm] $\{0_{\IR^{n-m}}\}$ [/mm] meinst.
Dieser Ausdruck ist mir bisher noch völlig unbekannt! :(
> Man muß ja sicher sein, daß es nicht zwei verschiedene
> [mm]y_1, y_2[/mm] gibt mit [mm]A(x,y_1)=0[/mm] und [mm]A(x,y_2)=0.[/mm]
Das heißt man Ansatz würde irgendwie so aussehen?
Sei [mm] $A(x,y_{1})=0 \gdw y_{1}=g(x)$ [/mm] und [mm] $A(x,y_{2})=0 \gdw y_{2}=g(x)$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $y_{1}=y_{2}$
[/mm]
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> > Es ist hier die Einschränkung von A auf [mm]\{0_{\IR^{n-m}}\} \times \IR^m[/mm]
> > gemeint, und von dieser wissen wir, daß sie lt.
> > Voraussetzung bijektiv ist.
> Hier ist mir nicht klar was du mit [mm]\{0_{\IR^{n-m}}\}[/mm]
> meinst.
> Dieser Ausdruck ist mir bisher noch völlig unbekannt! :(
Hallo,
ich meine damit die Null in [mm] \IR^{n-m}, [/mm] also den Nullvektor mit n-m "Etagen".
>
> > Man muß ja sicher sein, daß es nicht zwei verschiedene
> > [mm]y_1, y_2[/mm] gibt mit [mm]A(x,y_1)=0[/mm] und [mm]A(x,y_2)=0.[/mm]
> Das heißt man Ansatz würde irgendwie so aussehen?
>
> Sei [mm]A(x,y_{1})=0 \gdw y_{1}=g(x)[/mm] und [mm]A(x,y_{2})=0 \gdw y_{2}=g(x)[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]y_{1}=y_{2}[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Do 09.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Hi,
ich hab mir nun folgendes dazu überlegt, bin mir allerdings überhaupt nicht sicher ob das nun so geht:
Sei $ [mm] A(x,y_{1})=0 \gdw y_{1}=g(x) [/mm] $ und $ [mm] A(x,y_{2})=0 \gdw y_{2}=g(x) [/mm] $
Zu zeigen: $ [mm] y_{1}=y_{2} [/mm] $
[mm] $V_{1}\to V_{2} \to \IR^{m}
[/mm]
[mm] x\mapsto (g(x)=y_{1} [/mm] und [mm] g(x)=y_{2}) \mapsto0$
[/mm]
Aus Vorraussetzung wissen wir das die letzte Funktion von [mm] $V_{2}\to\IR^{m}$ [/mm] bijektiv ist [mm] $\Rightarrow y_{1}=y_{2}$
[/mm]
Allerdings bin ich mir wie gesagt überhaupt nicht sicher und ich habe auch gar nicht die Linearität der Abbildungen genutzt.
Gruss Somusa
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> Hi,
>
> ich hab mir nun folgendes dazu überlegt, bin mir
> allerdings überhaupt nicht sicher ob das nun so geht:
>
> Sei [mm]A(x,y_{1})=0 \gdw y_{1}=g(x)[/mm] und [mm]A(x,y_{2})=0 \gdw y_{2}=g(x)[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]y_{1}=y_{2}[/mm]
>
> [mm]$V_{1}\to V_{2} \to \IR^{m}[/mm]
Hallo,
was meinst Du damit?
> [mm]x\mapsto (g(x)=y_{1}[/mm] und
> [mm]g(x)=y_{2}) \mapsto0$[/mm]
Was meinst Du mit [mm] "\mapsto [/mm] 0"?
> Aus Vorraussetzung wissen wir das die letzte Funktion von
> [mm]V_{2}\to\IR^{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du meinst: die Einschränkung von A auf {0_{\IR_{n-m}}
> bijektiv ist [mm]\Rightarrow y_{1}=y_{2}[/mm]
>
> Allerdings bin ich mir wie gesagt überhaupt nicht sicher
> und ich habe auch gar nicht die Linearität der Abbildungen
> genutzt.
Fangen wir mal an.
Wir wollen ja garantieren, daß die durch g(x):=y, wobei A(x,y)=0 definierte Funktion wohldefiniert ist, daß es also nicht verschiedene [mm] y_1, y_2 [/mm] gibt mit [mm] A(x,y_1)=0 [/mm] und [mm] A(x,y_2)=0.
[/mm]
Seien also [mm] y_1, y_2 [/mm] mit [mm] A(x,y_1)=A(x,y_2)=0.
[/mm]
Dann ist [mm] 0=A(x,y_1)-A(x,y_2)= [/mm] ... ==> ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 09.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Hi,
> Seien also [mm]y_1, y_2[/mm] mit [mm]A(x,y_1)=A(x,y_2)=0.[/mm]
>
> Dann ist [mm]0=A(x,y_1)-A(x,y_2)=[/mm] ... ==> ???
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hmm scheint eig. nun ziemlich einfach oder nicht?
Aus Linearität der Abb. gilt:
[mm] $0=A(x,y_1)-A(x,y_2)=A(x-x,y_{1}-y_{2})==> y_{1}=y_{2}$
[/mm]
so?
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> Hi,
>
> > Seien also [mm]y_1, y_2[/mm] mit [mm]A(x,y_1)=A(x,y_2)=0.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]0=A(x,y_1)-A(x,y_2)=[/mm] ... ==> ???
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
> Hmm scheint eig. nun ziemlich einfach oder nicht?
>
> Aus Linearität der Abb. gilt:
>
> [mm]0=A(x,y_1)-A(x,y_2)=A(x-x,y_{1}-y_{2})==> y_{1}=y_{2}[/mm]
>
> so?
Hallo,
ja. Für den letzten Folgepfeil brauchst Du noch eine stichhaltige Begründung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 09.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Der Folgepfeil folgt doch aus der Bijektivität von der Einschränkung von [mm] $V_{2} \to \IR^{m}$ [/mm] ?
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> Der Folgepfeil folgt doch aus der Bijektivität von der
> Einschränkung von [mm]V_{2} \to \IR^{m}[/mm] ?
Hallo,
aber wie? Wie lautet die genaue Begründung?
Warum folgt aus [mm] A(0,y_1-y_2)=0, [/mm] daß [mm] y_1=y_2?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 09.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Naja die Einschränkung von [mm] $V_{2}\to\IR^{m}$ [/mm] ist bijektiv
=> Nur ein Element wird auf ein Elemtent abgebildet!
A ist lineaer => (0,0) wird auf 0 abgebildet
=> [mm] y_{1}=y_{2}=0? [/mm]
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Hallo,
> Naja die Einschränkung von
A auf [mm] V_2
[/mm]
> ist bijektiv
also ist sie insbesondere injektiv.
> => Nur ein Element wird auf ein Elemtent abgebildet!
> A ist lineaer => (0,0) wird auf 0 abgebildet
Wird nun auch [mm] (0,y_1-y_2) [/mm] auf die 0 abgebildet, so muß gelten ...
==> [mm] y_1=y_2.
[/mm]
> => [mm]y_{1}=y_{2}=0?[/mm]
Quatsch!!!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 09.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Hi,
> > Naja die Einschränkung von
> A auf [mm]V_2[/mm]
> > ist bijektiv
>
> also ist sie insbesondere injektiv.
>
> > => Nur ein Element wird auf ein Elemtent abgebildet!
> > A ist lineaer => (0,0) wird auf 0 abgebildet
>
> Wird nun auch [mm](0,y_1-y_2)[/mm] auf die 0 abgebildet, so muß
> gelten ...
>
> ==> [mm]y_1=y_2.[/mm]
>
> > => [mm]y_{1}=y_{2}=0?[/mm]
>
> Quatsch!!!
>
> Gruß v. Angela
Soll das heißen bis [mm] $y_{1}=y_{2}$ [/mm] ist es richtig? Das mit gleich 0 dacht ich mir wegen Linearität => [mm] $0\inKern(A)$?
[/mm]
Danke für deine Geduld.
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> Hi,
> > > Naja die Einschränkung von
> > A auf [mm]V_2[/mm]
> > > ist bijektiv
> >
> > also ist sie insbesondere injektiv.
> >
> > > => Nur ein Element wird auf ein Elemtent abgebildet!
> > > A ist lineaer => (0,0) wird auf 0 abgebildet
> >
> > Wird nun auch [mm](0,y_1-y_2)[/mm] auf die 0 abgebildet, so muß
> > gelten ...
> >
> > ==> [mm]y_1=y_2.[/mm]
> >
> > > => [mm]y_{1}=y_{2}=0?[/mm]
> >
> > Quatsch!!!
> >
> > Gruß v. Angela
> Soll das heißen bis [mm]y_{1}=y_{2}[/mm] ist es richtig?
Hallo,
mit den richtigen Begründungen ist es richtig.
> Das mit
> gleich 0 dacht ich mir wegen Linearität => [mm]0\in Kern(A)[/mm]?
die 0 ist natürlich im Kern von A.
Aber bedenke: A ist nicht auf dem ganzen [mm] \IR^n [/mm] injektiv, sondern nur die besagte Einschrankung ist injektiv.
Aus A(x,y)=0 kannst Du nicht schließen, daß (x,y)=0 ist.
Aufgrund der Injektivität der Einschränkung kannst Du aber aus A(0,y)=0 schließen, daß (0,y)=0, also y=0.
Gruß v. Angela
>
> Danke für deine Geduld.
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