Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 28.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo zusammen
Habe eine Reihe wichtiger Fragen zur Abbildungsmatrix. Sorry sind leider ein paar mehr.
Also dann mal los
1. Wenn B: V [mm] \to [/mm] W (V,W sind Vektorräume über K) eine lineare Abbildung ist und A die Abbildungsmatrix bezüglich einer beliebigen Basis C [mm] \in [/mm] V und einer D [mm] \in [/mm] W ist.
Ist dann B(v) = A * v
Also bilde ich einen Vektor mit Hilfe der Matrix ab in dem ich ihn mit der Matrix multipliziere.
Wenn das nicht der Fall sein sollte habe ich folgende Fragen (2- 4)
falls die Aussage zutrifft nur eine (5)
2. Warum kann ich den Kern(B) ausrechnen in dem ich A*v= 0 löse.
3. Kann ich in der Matrix dann nur ablesen wie die Basis Vektoren von C bezüglich der Basis D abgebildet werden oder kann ich auch irgendwie schnell andere Vektoren aus V abbilden.
4. Wie löse ich dann Folgende Aufgabe : Es sei a= [mm] (a_{ij}) \in [/mm] M(n;K) mit konstanter Zeilensumme [mm] \lambda [/mm] , d.h für alle i [mm] \in \{1,.....,n}
[/mm]
ist [mm] \lambda [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} (a_{ij}). [/mm] Zeige: [mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert von a.
Hätte mir nämlich den Vektor (1,.........,1) genommen und an die Matrix multipliziert und schon hätte die Behauptung gefolgt da der Vektor [mm] (\lambda,........,\lambda) [/mm] rausgekommen wäre.
Falls meine Annahme in Frage 1 richtig ist bleibt folgende Frage:
5. Wie kann es dann sein dass in manchen fällen etwas unterschiedliches herauskommt wenn man das Bild Basis Vektoren in den Spalten betrachtet und wenn man diesen mit der Matrix multipliziert. zum Beispiel an diagonalisierten
Matrizen kann man sich das Problem leicht verdeutlichen wenn es sich nicht gerade um die kanonische Basis handelt .
Das war jetzt viel aufeinmal aber schreib bald Klausur und will möglichst viel verstehen danke Mr coffee
|
|
| |
|
also ich versuch dich mal mit etwas theorie zu erleuchten.
zuerst einmal eine definition/lemma:
ist V ein K-VR und [mm] B=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine basis davon, dann ist die abbildung [mm] S_{B}:K^{n}->V [/mm] durch [mm] S_{B}(e_{i})=v_{i} [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n} eindeutig festgelegt und linear. ausserdem ist sie ein isomorphismus. man nennt [mm] S_{B} [/mm] das koordinatensystem von V bezüglich B. ist [mm] x=(x_{1},...,x_{n}) \in K^{n} [/mm] so ist [mm] S_{B}(x)=x_{1}v_{1}+...+x_{n}v_{n}=v [/mm] und andersrum nennt man [mm] x=S_{B}^{-1}(v) [/mm] die koordinaten von v bzgl der basis B.
jetzt ein satz ohne beweis:
ist F:V->W eine lin. abbildung zw K-VR. [mm] A=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine basis von V und [mm] B=(w_{1},...,w_{m}) [/mm] eine basis von W und M(A,B)(F) die darst. matrix von F bzgl A und B. weiterhin [mm] S_{A}:K^{n}->V [/mm] und [mm] S_{B}:K^{m}->W [/mm] die koordinatensysteme von V bzw W bzgl A bzw B. zusätzlich sei noch die durch M(A,B)(F)=A induzierte lin abbildung [mm] A:K^{n}->K^{m} [/mm] mit der abbildungsvorschrift x [mm] \mapsto [/mm] Ax gegeben.
dann haben wir ein kommutatives diagramm und es gilt:
F [mm] \circ S_{A} [/mm] = [mm] S_{B} \circ [/mm] A
zeichne dir jetzt das komm. diagramm auf!
ist nun z.b. v [mm] \in [/mm] V und w [mm] \in [/mm] W und F(v)=w und x [mm] \in K^{n} [/mm] die koordinaten von v bzgl A und y [mm] \in K^{m} [/mm] die koordinaten von w bzgl B, dann gilt Ax=y. das ist der ganze trick, schau dir einfach dein diagramm an.
jetzt haben wir einen spezialfall der dich erleuchten sollte:
ist [mm] V=K^{n} [/mm] und [mm] W=K^{m} [/mm] und weiterhin K die kanon. basis des [mm] K^{n} [/mm] und K' die kanon. basis des [mm] K^{m}, [/mm] so sind [mm] S_{K}:K^{n}->K^{n} [/mm] und [mm] S_{K'}:K^{m}->K^{m} [/mm] nichts weiter als die identitäten und ist x [mm] \in K^{n} [/mm] so sind bzgl K die koordinaten von x wieder x und das gleiche bei y [mm] \in K^{m}. [/mm] nach obiger theorie gilt dann:
ist [mm] F:K^{n}->K^{m} [/mm] linear und A=M(K,K')(F) die darstellende matrix bzgl kanon. basen so ist:
F(x)=y=Ax.
alles klar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 30.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hi calabi-yau
Danke für die ausfürliche Antwort die du mir gegeben hast. Die hat mich erleuchtet aber das bedeutet doch das ich die eigenwert aufgabe die ich in meiner Frage unter 4. gestellt habe so nicht lösen darf da nicht angegeben war um was für eine abbildung es sich hier handelt. also nicht von wo nach wo und zu welcher basis. hast du eventuell eine idee wie ich die alternativ lösen könnte weil eigentlich schreit die aufgabe dannach mit so einem vektor die matrix zu multiplizieren. bis dann mrcoffee
|
|
|
| |
|
die zusatzfragen hab ich mir gar nicht durchgelesen.
grundsätzlich: hast du nur eine matrix, z.b. A [mm] \in [/mm] M(mxn;K), gegeben, dann ist die dazugehörige lin. abbildung kanonisch. d.h. A ist die darstellende matrix bzgl kanonischen basen von der lin. abbildung [mm] F:K^{n}->K^{m}. [/mm] also mit der abbildungsvorschrift x [mm] \mapsto [/mm] Ax. das ist einfach eine übereinkunft, und wie du siehst ist sie auch ganz sinnvoll.
|
|
|
|
