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| Aufgabe | Sind die folgenden Abbildungen f,g: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] bijektiv? Sind sie linear?
a) f(x,y) : = [mm] (x+4y^{2} [/mm] , 2y )
b) g(x,y): = (4x+3y , -x+2y)
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Hallo ich wollte vielleicht im Winter ein Mathestudium beginnen und habe schonmal ein wenig in die Bücher geschaut und bin z.B auf diesen Fall gestoßen!
Habe gelesen das eine Abbildung linear ist , wenn f(a+y) = f(a)+f(b) und f(cv)=cf(v) für a,b,v [mm] \in [/mm] V und c [mm] \in [/mm] K.
Und bijektiv ist ja etwas , wenn jedem x [mm] \in [/mm] X genau ein y [mm] \in [/mm] Y mit f(x)=y zugeordnet wird. Nur wie beginne ich denn hier , weil ich so eine Form nicht kenne und nichts vergleichbares im Buch gesehen habe , bzw einen Tipp!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sind die folgenden Abbildungen f,g: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> bijektiv? Sind sie linear?
> a) f(x,y) : = [mm](x+4y^{2}[/mm] , 2y )
> b) g(x,y): = (4x+3y , -x+2y)
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Erstmal allgemein zu den beiden Funktionen.
Sie unterscheiden sich von den Funktionen, die Du aus der Schule kennst.
Hier wird nämlich nicht jeder Zahl eine Zahl zugeordnet, sondern jedem Zahlenpaar ein Zahlenpaar.
> Habe gelesen das eine Abbildung linear ist , wenn f(a+b) =
> f(a)+f(b) und f(cv)=cf(v) für a,b,v [mm]\in[/mm] V und c [mm]\in[/mm]
> K.
Wenn Du dies überprüfen willst, mußt Du bedenken, daß der Definitionsbereich von f der [mm] \IR^2 [/mm] ist.
a,b,v stehen hier also für Zahlenpaare [mm] (a_1, a_2), (b_1, b_2), (v_1, v_2).
[/mm]
Für die erste Linearitätsberechnung mußt Du also nachrechnen, ob
[mm] f((a_1, a_2)+(b_1, b_2))=f((a_1, a_2))+f((b_1, b_2)) [/mm] richtig ist.
> Und bijektiv ist ja etwas , wenn jedem x [mm]\in[/mm] X genau ein y
> [mm]\in[/mm] Y mit f(x)=y zugeordnet wird. Nur wie beginne ich denn
> hier , weil ich so eine Form nicht kenne und nichts
> vergleichbares im Buch gesehen habe , bzw einen Tipp!
Bijektoiv besteht aus zweierlei:
1. Auf jedes Element der Bildmenge wird tatsächlich ein Element der Definitionsmenge abgebildet. (Surjektivität)
Zu prüfen ist hier also, ob Du zu jedem beliebigen Zahlenpaar ( a,b) ein passendes Paar (x,y) findest, so daß f(x,y)=(a,b).
2. Es werden nicht zwei Elemente des Definitionsbereiches auf dasselbe Element abgebildet. (Injektivität)
Wenn also zwei Elemente (a,b) und (x,y) aufs selbe Element abgebildet werden, dann müssen sie gleich sein.
In Zeichen: f(a,b)=f(x,y) ==> (a,b)=(x,y)
Gruß v. Angela
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