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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 12.01.2009 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Basis B [mm] :={v_{1} = (1,0,1) , v_{2} = (0,1,0) , v_{3} = (0,0,-1)}
[/mm]
Sowie die lineare Abbildung f : [mm] IR^3 [/mm] - > [mm] IR^3 [/mm] bzgl. der Basis B
MF(f) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Bestimmen Sie f((x,y,z)) für alle (x,y,z) [mm] IR^3 [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie meinen die das in der Aufgabe mit f(x,y,z)? Ich meine f(x,y,z) hat keine Indizierung was dafür spricht das ich die Darstellungsmatrix bzgl der kannonischen Basis zu [mm] M_E_E [/mm] transformieren muss, aber da sie f(x,y,z) schreiben könnte man das ganze ja auch als Koordinaten bzgl. der Basis B interpretieren.
Wie meinen die das in der Aufgabe? Darstellungsmatrix bzgl. kannonsiche Matrix darstellen und dann (x,y,z) reinwerfen, oder direkt ohne transformieren,
also f(x,y,z) = (x+z, x-y , y,z), das wäre aber bisschen zu einfach für ne LA-Klausur Aufgabe, oder?
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> Gegeben sei eine Basis B [mm]:={v_{1} = (1,0,1) , v_{2} = (0,1,0) , v_{3} = (0,0,-1)}[/mm]
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> Sowie die lineare Abbildung f : [mm]IR^3[/mm] - > [mm]IR^3[/mm] bzgl. der
> Basis B
> MF(f) = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]
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> Bestimmen Sie f((x,y,z)) für alle (x,y,z) [mm]IR^3[/mm]
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wie meinen die das in der Aufgabe mit f(x,y,z)? Ich meine
> f(x,y,z) hat keine Indizierung was dafür spricht das ich
> die Darstellungsmatrix bzgl der kannonischen Basis zu [mm]M_E_E[/mm]
> transformieren muss, aber da sie f(x,y,z) schreiben könnte
> man das ganze ja auch als Koordinaten bzgl. der Basis B
> interpretieren.
> Wie meinen die das in der Aufgabe? Darstellungsmatrix
> bzgl. kannonsiche Matrix darstellen und dann (x,y,z)
> reinwerfen,
Hallo,
ja, ich bin mir sehr sicher, daß es so gemeint ist.
Gruß v. Angela
oder direkt ohne transformieren,
> also f(x,y,z) = (x+z, x-y , y,z), das wäre aber bisschen
> zu einfach für ne LA-Klausur Aufgabe, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 13.01.2009 | | Autor: | farnold |
>Hallo,
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>ja, ich bin mir sehr sicher, daß es so gemeint ist.
>
>Gruß v. Angela
>
>
>oder direkt ohne transformieren,
> > also f(x,y,z) = (x+z, x-y , y,z), das wäre aber bisschen
> > zu einfach für ne LA-Klausur Aufgabe, oder?
aber f(x,y,z) = (x+z, x-y , y,z) ist schon falsch ?! , wegen "oder direkt ohne transformieren,"
Hätte da noch ein kleines Schmankerl zu inhomogenen Gleichungssystemen.
Gegeben ist
eine Matrix A nxm mit
A*x = b (*)
jetzt habe ich aufgeschreiben:
Lös(A,b) ist eindeutig lösbar <=> Ker(Lös(A,0)) = 0 <=> A injektiv <=> Rang(A) = n
"Lös(A,0) = 0 <=> A injektiv <=> Rang(A) = n " diese Äquivalenzen leuchten mir ja noch ein, aber warum ist genau dann auch Lös(A,b) eindeutig lösbar?
Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0}
[/mm]
und Ax=b = [mm] \pmat{ 1 & 0 &| 3 \\ 0 & 1 &| 5\\ 0 & 0&| 1},
[/mm]
A ist injektiv, der Rang(A) entpsricht n und der Kern(A) = 0 ABER, das GLS Ax=b ist dennoch nicht lösbar?
Sind meine Äquivalenzen falsch oder ist die Lösung nur dann eindeutig, wenn das GLS lösbar ist?
1.)Ist folgendes korrekt?
Lös(A,0) hat genau dann als Lösung nur die triviale Lösungen <=> Kern (Lös(A,0)) = 0 <=> A injektiv <=> Rang(A) = n ?
2. (*) ist lösbar für jedes b <=> A: [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^m [/mm] ist surjektiv <=> Rg(A) = m <-- das gilt aber immer, also wenn mein A surjektiv ist dann kann ich mir 10000%ig sicher sein dass es auch wirklich Lösungen vom Himmel regnet (zumindest eine).
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> aber f(x,y,z) = (x+z, x-y , y,z) ist schon falsch ?! ,
Hallo,
das wäre richtig, wenn (x,y,z) bzgl der gegebenen basis sein sollte, worauf aber nichts hindeutet.
> Hätte da noch ein kleines Schmankerl zu inhomogenen
> Gleichungssystemen.
> Gegeben ist
> eine Matrix A nxm mit
> A*x = b (*)
> jetzt habe ich aufgeschreiben:
> Lös(A,b) ist eindeutig lösbar <=> Ker(Lös(A,0)) = 0 <=> A
> injektiv <=> Rang(A) = n
Die Äquivalenz stimmt nicht.
Die Rückrichtung ist verkehrt, wie Du selbst feststellst:
> Sei A = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm]
> und Ax=b = [mm]\pmat{ 1 & 0 &| 3 \\ 0 & 1 &| 5\\ 0 & 0&| 1},[/mm]
> 1.)Ist folgendes korrekt?
> Lös(A,0) hat genau dann als Lösung nur die triviale
> Lösungen <=> Kern (Lös(A,0)) = 0 <=> A injektiv <=> Rang(A)
> = n ?
Nein, der Rang muß =m sein, nämlich so, wie die Dimension des Startraumes.
>
> 2. (*) ist lösbar für jedes b <=> A: [mm]K^n[/mm] -> [mm]K^m[/mm] ist
> surjektiv <=> Rg(A) = m
Das die Dimension des Bildes muß gleich der Dimension des Raumes sein, in den hinein abebildet wird, hier also m.
> <-- das gilt aber immer,
???
> also
> wenn mein A surjektiv ist dann kann ich mir 10000%ig sicher
> sein dass es auch wirklich Lösungen vom Himmel regnet
> (zumindest eine).
Von regnen kann nicht unbedingt die Rede sein, wie Du selbst bemerkst. Aber egal, was auf der rechten Seite der Gleichungen steht, kein System geht ohne eine Lösung aus.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mi 14.01.2009 | | Autor: | farnold |
> Nein, der Rang muß =m sein, nämlich so, wie die Dimension > des Startraumes.
>
> 2. (*) ist lösbar für jedes b <=> A: $ [mm] K^n [/mm] $ -> $ [mm] K^m [/mm] $ ist
> surjektiv <=> Rg(A) = m
> =n.
> Das die Dimension des Bildes muß gleich der Dimension des > Raumes sein, in den hinein abebildet wird.
"surjektiv <=> Rg(A) = m = n" , hm das verstehe ich nicht.
wenn Rang(A) = m = n ist, dann wäre die Abbildung sicherlich surjektiv aber auch injektiv ( wir hätten eine eindeutige lösung) => für surjektivität langt doch surjektiv <=> Rg(A) = m
Bsp.: F: [mm] IR^3 [/mm] -> [mm] IR^2, [/mm] hat die Darstellungsmatrix den Rg(A) = 2 = m, so ist sie surjektiv, da eine Basis des Bildes [mm] IR^2 [/mm] aufspannt
> > Lös(A,b) ist eindeutig lösbar <=> Ker(Lös(A,0)) = 0 <=> A
> >injektiv <=> Rang(A) = n
> Die Äquivalenz stimmt nicht.
> Die Rückrichtung ist verkehrt, wie Du selbst feststellst:
Lös(A,b) ist eindeutig lösbar => Ker(Lös(A,0)) = 0 <=> A injektiv <=> Rang(A) = n
so wäre also das ganze korrekt ( die letzten beiden Äquivalenzen stimmen)
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> > 2. (*) ist lösbar für jedes b <=> A: [mm]K^n[/mm] -> [mm]K^m[/mm] ist
> > surjektiv <=> Rg(A) = m
>
> > =n.
>
> > Das die Dimension des Bildes muß gleich der Dimension des >
> Raumes sein, in den hinein abebildet wird.
>
> "surjektiv <=> Rg(A) = m = n" , hm das verstehe ich nicht.
Ich hatte nicht richtig geguckt. Ganz oben im Post schriebst Du von einer nxm Matrix, das hatte ich im Hinterkopf, und deshalb meinte ich daß der Rang =n sein muß.
Aber hier redest Du ja gerade von [mm] K^n\to K^m, [/mm] also ist surj. <==> Rang A=m .
Du hattest es alo zuvor richtig.
> > > Lös(A,b) ist eindeutig lösbar <=> Ker(Lös(A,0)) = 0 <=> A
>
> > >injektiv <=> Rang(A) = n
>
> > Die Äquivalenz stimmt nicht.
> > Die Rückrichtung ist verkehrt, wie Du selbst
> feststellst:
>
> Lös(A,b) ist eindeutig lösbar => Ker(Lös(A,0)) = 0 <=> A
> injektiv <=> Rang(A) = n
> so wäre also das ganze korrekt ( die letzten beiden
> Äquivalenzen stimmen)
Ja, so würde ies stimmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 14.01.2009 | | Autor: | farnold |
Verzweifle gerade an einer Aufgabe :(
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2} [/mm] sei eine lin. Abb von f : [mm] IR^3 [/mm] -> [mm] IR^3
[/mm]
Aufgabe: Bestimmen sie Basen B und C, sodass [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} M_B_C [/mm] (f) ist.
Gibt es für solche Aufgaben einen rechnerischen weg um an die Basen zu kommen, oder geht das nur duchr "scharfes" hinsehn?
Wähle ich für B= <(1,0,0),(0,1,0),(irgendeinvektor der l.u. zu den ersten beiden)> und C = <(1,2,-1),(2,1,1),(irgendeinvektor der l.u. zu den ersten beiden> so stimmt ja die Abbildung. Sobald die 2. Abbildungsmatrix nicht mehr so einfach aufgebaut ist muss man das ganze ja rechnerisch lösen, nur wie?
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> Verzweifle gerade an einer Aufgabe :(
Hallo,
such Dir zum Verzeifeln besser andere Lebenssituationen als irgendwelche Aufgaben.
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2}[/mm] sei eine
> lin. Abb von f : [mm]IR^3[/mm] -> [mm]IR^3[/mm]
> Aufgabe: Bestimmen sie Basen B und C, sodass [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} M_B_C[/mm]
> (f) ist.
> Gibt es für solche Aufgaben einen rechnerischen weg um an
> die Basen zu kommen, oder geht das nur duchr "scharfes"
> hinsehn?
Wenn Du solch eine matrix wie die zweite haben möchtest, bedeutet das, daß die "hinteren" Vektoren der gesuchten Basis dem Kern entstammen müssen. (hier ist das nur einer).
Berechne dafür also eine Basis des Kerns.
An den Anfang der Basis kommst Du so: berechne eine Basis des Bildes der Abbildung.
Berechne zu jedem dieser Basisvektoren [mm] w_i [/mm] des Bildes einen Vektor [mm] v_i, [/mm] der darauf abgebildet wird. Diese [mm] v_i [/mm] bilden dann die ersten Vektoren der Basis.
Gruß v. Angela
> Wähle ich für B= <(1,0,0),(0,1,0),(irgendeinvektor der
> l.u. zu den ersten beiden)> und C =
> <(1,2,-1),(2,1,1),(irgendeinvektor der l.u. zu den ersten
> beiden> so stimmt ja die Abbildung. Sobald die 2.
> Abbildungsmatrix nicht mehr so einfach aufgebaut ist muss
> man das ganze ja rechnerisch lösen, nur wie?
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