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| Aufgabe | Sei f eine Abbildung von [mm] \IQ^{2} \to \IQ^{2} [/mm] und sei B = [mm] {b_{1},b_{2} } [/mm] eine Basis von [mm] \IQ^{2} [/mm] .
Es gelte außerdem:
f: [mm] \begin{cases} b_{1} \mapsto 3 *b_{1} + 4 * b_{2} \\ b_{2} \mapsto b_{1} + 4 * b_{2} \end{cases} [/mm] .
Gib nun an, wie ein allgemeines v [mm] \in \IQ^{2} [/mm] durch Anwendung von f abgebildet wird und überprüfe, ob f linear ist. |
Hallo!
Ich wollte nurmal fragen,ob jemand einen Tipp für mich hat, wie ich darauf komme,wie das allgemeine v abgebildet wird.
Schonmal vielen Dank im Voraus!
kleinsnoopy
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Hallo kleinsnoopy,
Nehmen wir uns ein allgemeines [mm] v\in \IQ^{2} [/mm] (mit [mm] {b_{1},b_{2}} [/mm] Basis im [mm] \IQ^{2}).
[/mm]
v hat demnach die Gestallt: [mm] v=\summe_{i=1}^{2}\lambda_{i}b_{i}=\lambda_{1}*b_{1}+\lambda_{2}*b_{2}
[/mm]
Damit du nun fv bilden kannst ist es eigentlich ziehmlich essentiell, dass man weiß das f linear ist, sonst kann man das f nicht vor die Basisvektoren ziehen!
[mm] f(v)=f(\summe_{i=1}^{2}\lambda_{i}b_{i})=\lambda_{1}*f(b_{1})+\lambda_{2}*f(b_{2}).
[/mm]
So sollte das gehen!
lg Kai
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| Aufgabe | | Konstruieren sie eine lineare Abbildung f : [mm] \IQ^{2} \to \IQ^{2} [/mm] mit der Eigenschaft, dass für KEINE Basis B von [mm] \IQ^{2} [/mm] die Matrix [mm] [f]_{B}^{B} [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Dies war die ursprüngliche Aufgabenstellung. Deswegen dachte ich mir ,dass ich die Abbildung wie oben geschehen definiere. Dann weiß ich,dass die darstellende Matrix auf keinen Fall eine Diagonalmatrix ist. Dann muss ich aber trotzdem noch zeigen,dass f linear ist und ich dachte, man müsste/könnte es mit einem beliebigen v [mm] \in \IQ^{2} [/mm] machen.
kann ich denn mit meiner obigen Definition von f zeigen,dass f linear ist ?
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> Konstruieren sie eine lineare Abbildung f : [mm]\IQ^{2} \to \IQ^{2}[/mm]
> mit der Eigenschaft, dass für KEINE Basis B von [mm]\IQ^{2}[/mm] die
> Matrix [mm][f]_{B}^{B}[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Dies war die ursprüngliche Aufgabenstellung. Deswegen
> dachte ich mir ,dass ich die Abbildung wie oben geschehen
> definiere.
Hallo,
ich verstehe.
Du kannst das so machen:
Sei [mm] f:\IQ^2\to \IQ^2 [/mm] die lineare Abbildung mit ... (jetzt Deine Definition aus dem anderen Post)
Damit hast Du eine linear Abbildung definiert, denn diese sind ja durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Wie man nun die Linearität ausnutzend die Funktionswerte eines jeden v berechnen kann, hat Dir kuemmelsche gesagt.
> Dann weiß ich,dass die darstellende Matrix auf
> keinen Fall eine Diagonalmatrix ist.
Richtig.
Darüber allerdings, ob die von Dir definierte Abbildung für keine der vielen Basen des [mm] \IQ^2 [/mm] diagonal ist, weiß man noch nicht.
Das müßtest Du noch herausfinden.
Gruß v. Angela
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