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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob es eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm] gibt, für die
[mm] \alpha [/mm] (1,2,3,4) = (-2,-1,1)
[mm] \alpha [/mm] (2,3,4,1) = (-1,1,2)
[mm] \alpha [/mm] (3,4,1,2) = (1,2,-2)
[mm] \alpha [/mm] (4,1,2,3) = (2,-2,-1)
gilt. Bestimmen Sie gegebenenfalls [mm] \alpha [/mm] (1,0,0,0) sowie eine Basis des Kerns Ker( [mm] \alpha [/mm] ) und des Bildes Im( [mm] \alpha [/mm] ). |
Hallo,
zunächst habe ich gezeigt, dass die 4 Vektoren aus [mm] \IR^4 [/mm] ein linear unabhängiges Erzeugendensystem darstellen und so mit eine Basis von [mm] \IR^4 [/mm] sind. Das bedeutet es ist eine lineare Abbildung...
Mein Problem besteht nun in der Berechnung des Ker( [mm] \alpha [/mm] ). In unseren Übungen hatten wir beispielsweise so etwas gegeben:
[mm] \IR^3 \to \IR^3
[/mm]
f(x,y,z) = (x+3y+4z,2y-z,x-y+6z)
Um bei solchen Aufgaben den Ker( [mm] \alpha [/mm] ) zu berechnen setze ich einfach:
x+3y+4z = 0
2y-z = 0
x-y+6z = 0
Im Endeffekt bekomme ich
x = -11t (t bel. gewählt)
y = t
z = 2t
ker f = {t(11,1,2) t [mm] \varepsilon \IR [/mm] }
Eine Basis des Ker f wäre dann < (11,1,2) >
Diese f = (x +y +z, ... , ... ) Form habe ich nun nicht bei meiner oben geschilderten Aufgabe (oder etwa doch?).
Welches Gleichungssystem muss ich nehmen, um den Kern ( [mm] \alpha [/mm] ) berechenen zu können??
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> Untersuchen Sie, ob es eine lineare Abbildung [mm]\alpha[/mm] :
> [mm]\IR^4 \to \IR^3[/mm] gibt, für die
>
> [mm]\alpha[/mm] (1,2,3,4) = (-2,-1,1)
> [mm]\alpha[/mm] (2,3,4,1) = (-1,1,2)
> [mm]\alpha[/mm] (3,4,1,2) = (1,2,-2)
> [mm]\alpha[/mm] (4,1,2,3) = (2,-2,-1)
>
> gilt. Bestimmen Sie gegebenenfalls [mm]\alpha[/mm] (1,0,0,0) sowie
> eine Basis des Kerns Ker( [mm]\alpha[/mm] ) und des Bildes Im(
> [mm]\alpha[/mm] ).
> Hallo,
>
> zunächst habe ich gezeigt, dass die 4 Vektoren aus [mm]\IR^4[/mm]
> ein linear unabhängiges Erzeugendensystem darstellen und so
> mit eine Basis von [mm]\IR^4[/mm] sind.
Hallo,
ja, genau, das ist zu prüfen.
> Das bedeutet es ist eine
> lineare Abbildung...
Nein. Das bedeutet, daß es solch eine lineare Abbildung gibt.
Wir betrachten nun die lineare Abbildung, welche durch die oben angegebenen Werte auf einer Basis eindeutig definiert ist.
Zum Kern:
der Kern ist das, was auf die Null abgebildet wird.
Wenn Du die gewohnte Vorgehensweise verwenden möchtest, mußt Du Dir ausrechnen, welches die Werte auf der Standardbasis sind, dann kannst Du [mm] \alpha\vektor{x\\y\\z\\t}=\vektor{...\\...\\...} [/mm] aufstellen und wie gewohnt weitermachen.
Eine andere Möglichkeit:
die 4 Vektoren sind eine Basis.
Du möchstes jetzt also die Vektoren v=a(1,2,3,4) +b(2,3,4,1)+c(3,4,1,2) [mm] +d(4,1,2,3)\in \IR^4 [/mm] wissen, für welche
[mm] \alpha(a(1,2,3,4) [/mm] +b(2,3,4,1)+c(3,4,1,2) [mm] +d(4,1,2,3))=\vektor{0\\0\\0} [/mm] ist, also
[mm] \vektor{0\\0\\0}=a\alpha((1,2,3,4)) +b\alpha((2,3,4,1))+c\alpha((3,4,1,2)) +d\alpha((4,1,2,3)).
[/mm]
Aus diesem Gleichungssystem kannst Du Dir die Koeffizienten errechnen und kommst auch so zum Kern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Do 11.12.2008 | | Autor: | Dash |
Hallo und guten Morgen,
das hieße also folgendes: (ich nehme mal x,y,z,t)
[mm] \alpha [/mm] (x(1,2,3,4) +y(2,3,4,1)+z(3,4,1,2) +t(4,1,2,3))= [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] =
= x(1,2,3,4) + y(2,3,4,1) + z(3,4,1,2) + t(4,1,2,3) = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] =
= (x+2y+3z+4t, 2x+3y+4z+t, 3x+4y+z+2t, 4x+y+2z+3t) = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm]
Gleichungssystem für Kern:
x+2y+3z+4t = 0
2x+3y+4z+t = 0
3x+4y+z+2t = 0
4x+y+2z+3t = 0
Ist das so richtig?
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> Hallo und guten Morgen,
>
> das hieße also folgendes: (ich nehme mal x,y,z,t)
>
> [mm]\alpha[/mm] (x(1,2,3,4) +y(2,3,4,1)+z(3,4,1,2) +t(4,1,2,3))=
> [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] =
>
[mm] >\red{ = x(1,2,3,4) + y(2,3,4,1) + z(3,4,1,2) + t(4,1,2,3) }= [/mm]
> [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] =
>
> = (x+2y+3z+4t, 2x+3y+4z+t, 3x+4y+z+2t, 4x+y+2z+3t) =
> [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> Gleichungssystem für Kern:
>
> x+2y+3z+4t = 0
> 2x+3y+4z+t = 0
> 3x+4y+z+2t = 0
> 4x+y+2z+3t = 0
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
nein: Du hast das neckische Detail übersehen, daß in der rot markierten Zeile richtigerweise [mm] x\alpha(1,2,3,4) [/mm] + [mm] y\alpha(2,3,4,1) [/mm] + [mm] z\alpha(3,4,1,2) [/mm] + [mm] t\alpha(4,1,2,3) =\vektor{0\\0\\0} [/mm] stehen muß.
Spätestens an der Stelle, als Du bei Deinem Gleichungssystem rechts 4 Null sahest statt 3 Nullen in [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] hättest Du skeptisch werden sollen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Do 11.12.2008 | | Autor: | Dash |
Jetzt kann ich nur noch raten, da ich nicht weiß, wie ich s machen soll.
[mm] \vektor{0\\0\\0}=a\alpha((1,2,3,4)) +b\alpha((2,3,4,1))+c\alpha((3,4,1,2)) +d\alpha((4,1,2,3)).
[/mm]
jeweils das letzte Element des Vektors weglassen?
a+2b+3c+4d = 0
2a+3b+4c+d = 0
3a+4b+c+2d = 0
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> Jetzt kann ich nur noch raten, da ich nicht weiß, wie ich s
> machen soll.
>
> [mm]\vektor{0\\0\\0}=a\alpha((1,2,3,4)) +b\alpha((2,3,4,1))+c\alpha((3,4,1,2)) +d\alpha((4,1,2,3)).[/mm]
>
> jeweils das letzte Element des Vektors weglassen?
Hallo,
statt daß Du jetzt heiteres Raten mit Günther Jauch spielst, solltest Du Dir vielleicht nochmal die Aufgabenstelleung vorlesen. Das [mm] \alpha [/mm] ist ja nicht zur Dekoration gedacht, sondern es hat doch eine Beduetung!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Do 11.12.2008 | | Autor: | Dash |
$ [mm] \vektor{0\\0\\0}=a\alpha((1,2,3,4)) +b\alpha((2,3,4,1))+c\alpha((3,4,1,2)) +d\alpha((4,1,2,3)). [/mm] $
[mm] \vektor{0\\0\\0}=a(-2,-1,1)(1,2,3,4)+b(-1,1,2)(2,3,4,1)+c(1,2,-2)(3,4,1,2)+d(2,-2,-1)(4,1,2,3)
[/mm]
Ich kann verstehen, dass es für dich simpel erscheint und du den Eindruck gewinnst, dass viele einfach die Lösung ohne eigenes Denken erwarten. Ich habe mich gestern 4h mit der Aufgabe beschäftigt und das erste, was ich heute morgen gemacht habe, war den Rechner angeworfen und geschaut, ob jmd hier geschrieben hat. Es ist nicht so, dass ich mich nicht anstrenge, ich weiß es im Moment halt nicht, also kein Grund mich über Günther Jauch zu ironisieren..
Gruß und ja, ich weiß die Hilfe hier sehr zu schätzen.
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> [mm]\vektor{0\\0\\0}=a\alpha((1,2,3,4)) +b\alpha((2,3,4,1))+c\alpha((3,4,1,2)) +d\alpha((4,1,2,3)).[/mm]
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> [mm]\vektor{0\\0\\0}=a(-2,-1,1)(1,2,3,4)+b(-1,1,2)(2,3,4,1)+c(1,2,-2)(3,4,1,2)+d(2,-2,-1)(4,1,2,3)[/mm]
Hallo,
ich nehme an, daß die verbleibenden Ungereimtheiten schlichtweg Copy-Fehler im Eifer des Gefechtes sind.
Ohne die Viererzeilen ist's jetzt in Ordnung, und Du hast ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen, welches zu lösen ist. (Schreibt Ihr Vektoren eigentlich als Zeilen? Zum Aufstellen der Gleichungssysteme und später Darstellungsmatrizen sind Spalten extrem übersichtlicher.)
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> Es ist nicht so, dass ich mich
> nicht anstrenge, ich weiß es im Moment halt nicht, also
Mit Ironie hat "Günther Jauch" nicht viel zu tun.
Es ist - und gerade wenn man unter Zeit- oder sonstigem -druck steht, höchst nützlich, gelegentlich innerzuhalten und sich zu fragen: was mache ich gerade? Was bedeuten die Zeichen? bei Dir krankte es daran, daß Du gerade die Bedeutung des [mm] \alpha [/mm] komplett vergessen hattest - was ich gut nachvollziehen kann.
Die angemessene Strategie: nachschlagen.
Die unangemessene Strategie: einfach blindlings irgendwas zu tun.
Hier nehme ich mir tatsächlich das Recht, dies unverblümt zu sagen, und "dies ist kein Ratespiel" mit Günther Jauch zu ilustrieren - in der Regel verbinde die Kritik am Arbeitstil ja mit kontruktiven Hinweisen.
Gruß v. Angela
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