Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 So 27.02.2005 | | Autor: | bini |
Hallo!
Habe ein Problem mit folgender Aufgbabe:
Sei dimV < [mm] \infty [/mm] Zeigen Sie, dass für eine lineare Abbildung f: V ->W gilt:
Wenn zwei Unterräume U1, U2 [mm] \subseteq [/mm] V mit U1 [mm] \subseteq [/mm] U2, dasselbe Bild unter f haben, dann gibt es einen linearen Unterraum
T [mm] \subseteq [/mm] Kern (f) mit U2= U1 [mm] \oplus [/mm] T (direkte Summe)
Meine bisherigen Gedanken dazu: wenn U1 und U2 dasselbe Bild unter f haben und U1 ein Unterraum von U2 ist, kann das nur heißen die in U2, aber nicht in U1 enthaltenen Vektoren müssen auf den Nullvektor abgebildet werden, d.h. sind Teil vom Kern(f). Tja aber das steht ja auch schon da, aber wie beweise ich dass es einen solchen Unterraum T gibt?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo bini!
Es sei [mm] $(u_1,\ldots,u_k)$ [/mm] eine Basis von [mm] $U_1$, [/mm] die wir zu einer Basis [mm] $(u_1,\ldots,u_k,v_{k+1},\ldots,v_n)$ [/mm] von [mm] $U_2$ [/mm] ergänzen.
Nach Voraussetzung gibt es für alle [mm] $j\in \{k+1,\ldots,n\}$ [/mm] Skalare [mm] $\lambda_i^{(j)} \in \IK$ ($i\in \{1,\ldots,k\}$) [/mm] mit
[mm] $T(v_j) [/mm] = T [mm] \left( \sum\limits_{i=1}^k \lambda_i^{(j)} u_i \right)$.
[/mm]
Nun wendet man das Austauschlemma an, nachdem auch
[mm] $\left(u_1,\ldots,u_k,v_{k+1} - \sum\limits_{i=1}^k \lambda_i^{(k+1)} u_i,\ldots,v_n - \sum\limits_{i=1}^k \lambda_i^{(n)} u_i\right)$
[/mm]
eine Basis von [mm] $U_2$ [/mm] ist.
Liebe Grüße
Stefan
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