Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:35 So 16.11.2008 | | Autor: | grafzahl123 |
| Aufgabe | Sei V [mm] \ne [/mm] 0 ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper k, und sei f : V-->V eine lineare Abbildung mit
es existiert [mm] n\in\IN [/mm] \ {0} f°f°f°...°f=0 (f wird n-mal verknüpft)
kann f surjektiv sein? |
also ich hab mir überlegt, dass jedes element aus V auf 0 abgebildet wird.
das würde ja bedeuten, dass jedem element aus V mindestens ein element aus V zugeordnet wird.
das widerrum bedeutet doch surjektiv?!
weiterhin frage ich mich ob es bei lin. abb. egal ist, ob nur die 0 auf die 0 abgebildet wird( wegen f(e)=e, e ist neutrales element), oder ob auch mehrere elemente auf die 0 abbgebildet werden können.
wäre dankbar, wenn mir wer helfen könnte.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Für Surjektivität musst du zeigen, dass deine lineare Abbildung jedes Element aus V "erzeugen" kann, wenn ich irgendwas bestimmtes einsetze. Wenn nun solche seltsame Voraussetzungen für die lineare Abbildung festgelegt werden, liegt nahe, dass Surjektivität wahrscheinlich nicht vorliegt.
Wenn nämlich ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] existiert sodass [mm] $f\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] f(v) = 0$ für beliebiges [mm] $v\in [/mm] V$, so heißt das dass es neben dem Nullelement 0 mindestens noch ein zweites Element aus V geben muss, wo beim Einsetzen in f 0 rauskommt.
Zum Beispiel könnte man jetzt relativ schnell sagen, dass wenn es solch ein "neutrales" Element gäbe, dieses nicht von der Funktion abgebildet werden würde, weil es dann ja kein [mm] $n\in \IN$ [/mm] gäbe sodass [mm] $f\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] f(e) = 0$. Fragt sich bloß, ob so ein neutrales Element immer existiert...
Stefan.
|
|
|
| |
|
danke erstmaö für deine mitteilung.
ich hab dann mal in nem buch was über surjektivität gesucht und hab folgendes gefunden:
f ist genau dann surjektiv, wenn im(f)=V
für meinen speziellen fall würde das ja bedeuten, im(f)=0 , da alle elemente auf 0 abgebildet werden. das würde jedoch im widerspruch zur annahme aus der aufgabenstellung V [mm] \not= [/mm] 0 stehen?!
daraus folgt doch, dass f nicht surjektiv ist.
Jetzt die wichtigste aller fragen: Stimmt das ?
|
|
|
| |
|
> danke erstmaö für deine mitteilung.
> ich hab dann mal in nem buch was über surjektivität gesucht
> und hab folgendes gefunden:
> f ist genau dann surjektiv, wenn im(f)=V
> für meinen speziellen fall würde das ja bedeuten, im(f)=0
> , da alle elemente auf 0 abgebildet werden. das würde
> jedoch im widerspruch zur annahme aus der aufgabenstellung
> V [mm]\not=[/mm] 0 stehen?!
> daraus folgt doch, dass f nicht surjektiv ist.
> Jetzt die wichtigste aller fragen: Stimmt das ?
Hallo!
Ich fürchte, dass stimmt nicht. Guck mal: Die Bedingung für die Abbildung sagt doch bloß aus, dass das eingesetzte Element erst bei n-maliger Hintereinanderausführung 0 wird. Zum Beispiel könnte das auch so aussehen:
f(2) = 4
f(4) = 6
f(6) = 1
f(1) = 0
D.h. f(f(f(f(2)))) = 0 [mm] \quad\quad [/mm] n = 4
Dann hättest du als Bildraum nicht nur 0, sondern auch 4,6,1,....
Dein "böses Element" wäre hier 1, was nämlich auf 0 abbildet.
Ich habe im Moment aber auch keine Idee, wie man das beweisen könnte.
Stefan.
|
|
|
| |
|
> danke erstmaö für deine mitteilung.
> ich hab dann mal in nem buch was über surjektivität gesucht
> und hab folgendes gefunden:
> f ist genau dann surjektiv, wenn im(f)=V
Hallo,
ich hoffe, Du hast auch verstanden, warum das was mit Surjektivität zu tun hat.
> für meinen speziellen fall würde das ja bedeuten, im(f)=0
> , da alle elemente auf 0 abgebildet werden.
In Deinem Fall würde das erstmal bedeutetn, daß [mm] im(f^n)=0.
[/mm]
Aber die Idee ist nicht übel.
Nimm an, daß f(V)=V ist.
Nun läßt Du darauf immer wieder f los, und kommst schließlich darauf, daß V=0 ist, womit Du Deinen Widerspruch hast.
> das würde
> jedoch im widerspruch zur annahme aus der aufgabenstellung
> V [mm]\not=[/mm] 0 stehen?!
> daraus folgt doch, dass f nicht surjektiv ist.
> Jetzt die wichtigste aller fragen: Stimmt das ?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
