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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
ich habe ein wirklich großes Problem.
Und zwar verstehe ich einfach nicht was eine lineare Abbildung bei Matrizen ist.
Was bedeutet die Definition f: [mm] R^m \to R^n? [/mm] Dass die Zeilen den Spalten zugeordnet werden?
Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar, wenn mir jemand an einem einfachen Beispiel erklären könnte, was eine lineare Abbildung ist.
Viele liebe Grüße
Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
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> ich habe ein wirklich großes Problem.
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> Und zwar verstehe ich einfach nicht was eine lineare
> Abbildung bei Matrizen ist.
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> Was bedeutet die Definition f: [mm]R^m \to R^n?[/mm] Dass die Zeilen
> den Spalten zugeordnet werden?
f: [mm][mm] R^m \to R^n [/mm] ist eine funktion, die auf [mm] R^m [/mm] def. ist und Werte im [mm] R^n [/mm] hat.
f heißt linear, wenn f(tx+sy) = tf(x)+sf(y) für jedes t,s [mm] \in \IR [/mm] und jedes x,y [mm] \in \IR^m
[/mm]
FRED
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> Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar, wenn mir jemand an
> einem einfachen Beispiel erklären könnte, was eine lineare
> Abbildung ist.
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> Viele liebe Grüße
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> Nina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mi 12.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Sorry, aber ich verstehe nur Bahnhof.
Deswegen habe ich auch um ein Beispiel gebeten.
Diese Definition finde ich in jedem Buch und auf jeder Internetseite.
Wäre also super wenn hier jemand mal einfach ein Beispiel nennen könnte mit Zahlen.
Lg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 12.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Nina,
ich habe das Gefühl, die Begiffe "lineare Abbildung" und "Matrix" sind bei Dir etwas vermischt, was irgendwo ja auch stimmt. Aber erstmal muss man sie trennen, bevor man sie unter bestimmten Voraussetzungen identfizieren kann. Die Definition der linearen Abbildung hat Fred ja schon hingeschrieben, sie gilt auch allgemein in K-Vektorräumen.
Ein einfaches Beispiel für eine lineare Abbildung [mm] g:\IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] ist [mm] g(\vektor{v_{1}\\v_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{v_{1}\\0\\v_{2}}.
[/mm]
Nun führt man auf Vektorräumen Basen ein und kommt auf diese Weise zur sog. Koordinatendarstellung von Vektoren, indem man einen Vektor u [mm] \in [/mm] V als Linearkombination der Basisvektoren in V darstellt: u = [mm] \summe_{i=1}^{n} u_{i}v_{i} [/mm] mit [mm] u_{i} \in [/mm] K, [mm] v_{i} [/mm] Basis von V.
Diese Koordinatendarstellung hängt von der Wahl der Basis in V ab. Sei nun K = [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC.
[/mm]
Betrachten wir nun eine lineare Abbildung f zwischen zwei K-Vektorräumen V, der dim n, und W, der dim m, mit festen Basen [mm] v_{i} [/mm] bzw. [mm] w_{j}. [/mm] Dann kann ich die Bilder der [mm] v_{i} [/mm] unter f in W als Koordinatenvektor darstellen: [mm] f(v_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m}a_{ji}w_{j}.
[/mm]
Die Koordinatendarstellung ist dann also [mm] \vektor{a_{1i}\\a_{2i}\\...\\a_{mi}} \in K^{m} [/mm] für dieses [mm] f(v_{i}). [/mm] Macht man dies für alle Basisvektoren in V, so erhält man n Koordinatenvektoren, die man in ein rechteckiges Schema schreibt und mxn - Matrix nennt.
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} } \in K^{mxn}
[/mm]
Diese Darstellung ist von der Wahl der Basen in V und W abhängig!
Schauen wir uns nun obiges Beispiel g an und setzen wir fest, dass im [mm] \IR^{2} [/mm] wie auch im [mm] \IR^{3} [/mm] die kanonische Basis aus Einheitsvektoren [mm] e_{i} [/mm] genommen wird. Also
[mm] g(e_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 1 * [mm] e_{1} [/mm] + 0 * [mm] e_{2} [/mm] + 0 * [mm] e_{3}
[/mm]
und
[mm] g(e_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = 0 * [mm] e_{1} [/mm] + 0 * [mm] e_{2} [/mm] + 1 * [mm] e_{3}
[/mm]
Somit ist G := [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] die Matrix, die g unter kanonischen Basen in [mm] \IR^{2} [/mm] bzw. [mm] \IR^{3} [/mm] darstellt.
Als letztes; hat man nun einen bel. Koordinatenvektor u = [mm] \vektor{u_{1} \\ u_{2}} [/mm] in [mm] \IR^{2} [/mm] so kann man durch "Matrizenmultiplikation" G*u das Bild von u unter g also g(u) als Koordinatenvektor in [mm] \IR^{3} [/mm] berechnen.
Gruß
Uli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nina,
> Sorry, aber ich verstehe nur Bahnhof.
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> Deswegen habe ich auch um ein Beispiel gebeten.
>
> Diese Definition finde ich in jedem Buch und auf jeder
> Internetseite.
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> Wäre also super wenn hier jemand mal einfach ein Beispiel
> nennen könnte mit Zahlen.
also [mm] $f:\IR^m \to \IR^n$ [/mm] heißt nur, dass man jedem $x [mm] \in \IR^m$ [/mm] genau ein $y=f(x)$ zuordnet, so dass $y [mm] \in \IR^n\,.$ [/mm]
(Allgemein: $f: M [mm] \to [/mm] N$ bedeutet nur, dass [mm] $D_f=\text{Definitionsbereich von } [/mm] f=M$ ist und dass $f(M) [mm] \subset N\,.$)
[/mm]
Mit anderen Worten:
$f: [mm] \IR^5 \to \IR^2$ [/mm] mit [mm] $f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}\right):=\vektor{1\\1}$ [/mm] wäre z.B. eine ganz triviale Abbildung dieser Art (übrigens wäre diese nicht linear).
Anstatt der lästigen Spaltenvektorschreibweise schreibt man (linkerhand) manchmal lieber den Transponierten Vektor (also den Zeilenvektor) (weil es eine ganz offensichtliche Bijektion [mm] $\IR^{m \times 1} \to \IR^{1 \times m}$ [/mm] gibt; man identifiziert die erste Stelle des Zeilenvektors mit der ersten des Spaltenvektors, das gleiche mit der zweiten, dritten,..., $m$-ten) und lässt dann zudem unnötige Klammern weg, also:
Anstatt [mm] $f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}\right)$ [/mm] schreibt man manchmal lieber [mm] $f((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5))$ [/mm] bzw. noch lieber [mm] $f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\,.$
[/mm]
Jetzt mal ein anderes (nicht ganz so offensichtliches) Beispiel für eine nichtlineare Funktion $h: [mm] \IR^4 \to \IR^2\,:$
[/mm]
[mm] $h(x_1,x_2,x_3,x_4):=\vektor{x_1+2x_2+x_3\\x_4^2}\,.$
[/mm]
Warum ist diese Funktion nicht linear?
(Berechne mal $h(1,1,1,1)$ und [mm] $h(2,2,2,2)\,.$ [/mm] Was kommt heraus? Was müsste gelten, wenn [mm] $\black{h}$ [/mm] linear wäre?)
Und nun mal zu uliweils Funktion:
$ [mm] g\left(\vektor{v_{1}\\v_{2}}\right)=\vektor{v_{1}\\0\\v_{2}}.$
[/mm]
Diese Funktion ist linear. Sind $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2}, w=\vektor{w_1\\w_2} \in \IR^2\,,$ [/mm] so gilt:
[mm] $$g\left(a\vektor{v_{1}\\v_{2}}+b\vektor{w_{1}\\w_{2}}\right)=g\left(\vektor{av_{1}+bw_{1}\\av_{2}+bw_{2}}\right)=\vektor{av_{1}+bw_1\\0\\av_{2}+bw_2}=a\vektor{v_1\\0\\v_2}+b\vektor{w_1\\0\\w_2}=ag\left(\vektor{v_{1}\\0\\v_{2}}\right)+bg\left(\vektor{w_{1}\\0\\w_{2}}\right)\,.$$
[/mm]
Zusammenhänge linearer Abbildungen mit Matrizen findest Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript, Kapitel 4.
Ich empfehle Dir auch, diesen Artikel zu studieren, damit Du die Zusammenhänge zwischen den linearen Abbildungen und Matrizen erkennst.
Die Funktion $g$ ließe sich auch schreiben (ich benutze jetzt die "verkürzte" Schreibweise mit den Zeilenvektoren)
[mm] $$g(v_1,v_2)=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 0 \\0&1 }\vektor{v_1\\v_2}\,,$$
[/mm]
woraus (mit genügend vielem Hintergrundwissen oder eigenen Überlegungen bzgl. Matrizenrechnungen) sofort die Linearität von [mm] $\black{g}$ [/mm] ersichtlich wird.
(Oben gäbe es für $f$ keine passende Matrix, so dass [mm] $f(x)=$"Matrix"$\cdot [/mm] x$ für alle [mm] $\black{x}\,.$ [/mm] Gleiches gilt ebenso für [mm] $h\,.$)
[/mm]
P.S.:
Beachte bitte auch, dass per Definitionem des [mm] $\IR^m$:
[/mm]
$x [mm] \in \IR^m \gdw x=\vektor{x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_m}$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2,...,x_m \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,.
Marcel
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