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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 So 13.02.2005
Autor: ThomasK

Hi Leute

Ich bin grad am lernen für meine Klausur morgen.

Hab da aber noch ne Aufgabe, wo ich irgendwie nicht auf das ergebnis komme.

Existiert eine lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] W mit der Eigenschaft
f(−1,−1, 2) = (−2,−1)
f(−1, 1, 1) = (−2, 2)
f(−2, 1,−1) = (−4,−1)

Ich hab nachgerechnet das linear unabhängig ist.
aber wie kommt man jetzt auf die Lösung:

f(x, y, z) = (2x, x + 2y + z).

Irgendwie komme ich mit meinen Rechnungen nicht dorthin...
Vielleicht habt ihr ja ne Idee?

Thomas

        
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 So 13.02.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo, ThomasK

$u = [mm] a_u*x+b_u*y+c_u*z$ [/mm]
$v = [mm] a_v*x+b_v*y+c_v*z$ [/mm]

1te Zeile u: $-2 = [mm] -1a_u-1b_u+2c_u$ [/mm]
2te Zeile u: $-2 = [mm] -1a_v+1b_u+1c_u$ [/mm]
3te Zeile: u $-4 = [mm] -2a_u+1b_u-1c_u$ [/mm]

entsprechendes für v; das angeführte Ergebnis stimmt

Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 So 13.02.2005
Autor: baskolii

Hallo Thomas!

Du weißt schon, dass f linear ist, außerdem sind  [mm] v_1=\vektor{ -1 \\ -1 \\ 2}, v_2=\vektor{ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] v_3\vektor{ -2 \\ 1 \\ -1} [/mm] lin. unabhängig, stellen also eine Basis von V dar.
Die Matrixdarstellung von f bezüglich dieser Basis und der kanonischen Basis von W lautet also: [mm] B=\pmat{ -2 & -2 & -4\\ -1 & 2 & -1 } [/mm]
(Anwendung der Formel: [mm] f(v_j)= \summe_{i=1}^{2}b_{ij}w_i [/mm] mit [mm] w_1=\vektor{1\\0} [/mm] und [mm] w_2=\vektor{0\\1}) [/mm]

Du willst allerdings die Matrixdarstellung von f bezüglich der kanonischen Basen von V und W haben. Also musst du deine Basis von V transformieren.
Als Transformationsmatrix sieht man sofort [mm] P=\pmat{ -1 & -1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1} (=(v_1 v_2 v_3)) [/mm]

Also: [mm] f\left(\vektor{x\\y\\z}\right)=B\cdot P^{-1}\vektor{x\\y\\z}=\pmat{ 2 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1} \cdot\vektor{x\\y\\z}=\vektor{2x\\x+2y+z} [/mm]

mfg Verena


Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 So 13.02.2005
Autor: ThomasK

Hi

Danke es hat jetzt geklappt :-)

Thomas

Bezug
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