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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Fr 28.03.2008 | | Autor: | marteen |
| Aufgabe | Es sei F: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2} [/mm] die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix A = [mm] \pmat{ 5 & 4 \\ -1 & 1 } [/mm] gegeben ist.
a) Zeigen Sie: U= {v [mm] \in \IR^{2} [/mm] | A*v = 3*v} ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{2}
[/mm]
b) Geben Sie eine Basis von U an
c) Geben Sie die Matrix der Abbildung F bezüglich der Basis { [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] } an. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber relativ unsicher und wäre dankbar für Tipps/Vorschläge.
a) Nachrechnen der UVR Axiome.
- U [mm] \subset \IR^{2} [/mm] offensichtlich
- Seien u,w [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] A*u = 3*u [mm] \Rightarrow \bruch{A*u}{3} [/mm] = u
[mm] \Rightarrow [/mm] A*w = 3*w [mm] \Rightarrow \bruch{A*w}{3} [/mm] = w
Dann ist: u+w = [mm] \bruch{A*u}{3} [/mm] + [mm] \bruch{A*w}{3} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}((A*u) [/mm] + (A*w)) = u+w
= A*u + A*w = 3*u + 3*w
Ich bin mir bei meiner "Argumentation" aber sehr unsicher bzw. vielleicht verstehe ich einfach nicht, was das für ein Unterraum sein soll.
Bei Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation bin ich mir auch nicht sicher, wäre hier um einen Tipp froh.
b) Hier würde ich so vorgehen:
[mm] \pmat{ 5 & 4 \\ -1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{5a + 4b \\ -a + b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] \vektor{5 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] } bilden eine Basis für U.
- Lineare Unabhängigkeit offensichtlich
Jetzt bleibt noch zu zeigen, falls es überhaupt stimmt, dass die Vektoren U erzeugen. Wie zeige ich das am besten?
c) Hier habe ich versucht herauszufinden, was F denn mit den Standardvektoren macht, also wieder einen Vektor [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] heranmultipliziert.
[mm] \pmat{ 5 & 4 \\ -1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{5a + 4b \\ -a + b}
[/mm]
und dann die Bilder der neuen Basisvektoren unter F berechnet.
F( [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] ) = [mm] \vektor{6 \\ -3}
[/mm]
F( [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] ) = [mm] \vektor{1 \\ -2}
[/mm]
Das sind jetzt die Spalten der gesuchten Matrix.
[mm] \Rightarrow [/mm] M = [mm] \pmat{ 6 & 1 \\ -3 & -2 }
[/mm]
Wie gesagt, ich bin mir sehr unsicher und wäre froh, wenn jemand was zu meinen Lösungswegen sagen würde.
Grüße
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Hallo marteen,
> Es sei F: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR^{2}[/mm] die lineare Abbildung, die
> bezüglich der Standardbasis durch die Matrix A = [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ -1 & 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gegeben ist.
>
> a) Zeigen Sie: U= {v [mm]\in \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| A*v = 3*v} ist ein
> Untervektorraum von [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> b) Geben Sie eine Basis von U an
>
> c) Geben Sie die Matrix der Abbildung F bezüglich der Basis
> { [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} an.
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber relativ
> unsicher und wäre dankbar für Tipps/Vorschläge.
>
> a) Nachrechnen der UVR Axiome.
>
> - U [mm]\subset \IR^{2}[/mm] offensichtlich
>
> - Seien u,w [mm]\in[/mm] U
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A*u = 3*u [mm]\Rightarrow \bruch{A*u}{3}[/mm] = u
> [mm]\Rightarrow[/mm] A*w = 3*w [mm]\Rightarrow \bruch{A*w}{3}[/mm] = w
>
> Dann ist: u+w = [mm]\bruch{A*u}{3}[/mm] + [mm]\bruch{A*w}{3}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}((A*u)[/mm] + (A*w)) = u+w
> = A*u + A*w = 3*u + 3*w
>
> Ich bin mir bei meiner "Argumentation" aber sehr unsicher
> bzw. vielleicht verstehe ich einfach nicht, was das für ein
> Unterraum sein soll.
>
> Bei Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation bin ich mir auch
> nicht sicher, wäre hier um einen Tipp froh.
Wende einfach das entsprechende UR-Axiom und die Definition an.
Für [mm]v \in U[/mm] und [mm][mm] \alpha \in \IR[/mm] [mm] gilt [mm]\alpha*v \in U[/mm]
[mm]A*\left(\alpha*v\right)=3\alpha*v = \alpha*3v = \alpha A v[/mm]
>
> b) Hier würde ich so vorgehen:
>
> [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ -1 & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{5a + 4b \\ -a + b}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\vektor{5 \\ -1}[/mm] , [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} bilden
> eine Basis für U.
>
> - Lineare Unabhängigkeit offensichtlich
>
> Jetzt bleibt noch zu zeigen, falls es überhaupt stimmt,
> dass die Vektoren U erzeugen. Wie zeige ich das am besten?
Das ist automatische gegeben, da sie linear unabhängig sind und 2 linear unabhängige Vektoren des [mm]\IR^{2}[/mm] wiederum [mm]\IR^{2}[/mm] erzeugen.
>
> c) Hier habe ich versucht herauszufinden, was F denn mit
> den Standardvektoren macht, also wieder einen Vektor
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] heranmultipliziert.
>
> [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ -1 & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{5a + 4b \\ -a + b}[/mm]
>
> und dann die Bilder der neuen Basisvektoren unter F
> berechnet.
>
> F( [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm] ) = [mm]\vektor{6 \\ -3}[/mm]
> F( [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
> ) = [mm]\vektor{1 \\ -2}[/mm]
>
> Das sind jetzt die Spalten der gesuchten Matrix.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] M = [mm]\pmat{ 6 & 1 \\ -3 & -2 }[/mm]
>
Stelle die Matrix A so dar:
[mm]\pmat{5 & 4 \\ -1 & 1}=B*\pmat{2 & 1 \\ -1 & -1}[/mm]
mit [mm]B=\pmat{b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}}[/mm]
>
> Wie gesagt, ich bin mir sehr unsicher und wäre froh, wenn
> jemand was zu meinen Lösungswegen sagen würde.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Fr 28.03.2008 | | Autor: | marteen |
Vielen Dank erst einmal. Teil a) und b) kann ich nachvollziehen. Aber ich habe meine Probleme mit deiner Lösung zu c). Könntest du diese bitte noch einmal erläutern?
Grüße
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Hallo marteen,
> Vielen Dank erst einmal. Teil a) und b) kann ich
> nachvollziehen. Aber ich habe meine Probleme mit deiner
> Lösung zu c). Könntest du diese bitte noch einmal
> erläutern?
Für die lineare Abbildung [mm]F:\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}[/mm] gilt:
[mm]f\left(v\right) = A*v, v \in \IR^{2}[/mm]
bezüglich der Standardbasis.
Wechselt man die Basis, so gilt trotzdem noch
[mm]f\left(w\right)=B*w, w \in \IR^{2}[/mm]
Allerdings mit einem anderen Element w.
Konkret: Bilde ich die Standardbasis mit Hilfe der Matrix A ab, so soll die neue Matrix B mit der neuen Basis, ebenfalls das selbe Bild liefern.
Das heißt:
[mm]f\left(v\right)=A*v=B*w=f\left(w\right)[/mm]
Konkret:
[mm]\pmat{5 & 4 \\ -1 & 1}*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}=B*\pmat{2 & 1 \\ -1 & -1}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{5 & 4 \\ -1 & 1}=B*\pmat{2 & 1 \\ -1 & -1}[/mm]
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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