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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mo 02.07.2007 | | Autor: | nali |
| Aufgabe | [mm] \varphi (\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}})= \pmat{ 3v_{1} + 2v_{2} + v_{3} \\ v_{2} + 2v_{3} \\ 2v_{1} + 2v_{3} }
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] eine lineare Abbildung ist.
b Bestimmen Sie die zugehörige Matrix [mm] A_{\varphi} [/mm] (bzgl. der kanonischen Einheitsbasis)
c) Bestimmen Sie [mm] Kern(\varphi) [/mm] und [mm] Bild(\varphi) [/mm] |
Hallo!
a) Es ist doch zu zeigen dass [mm] \varphi(v+w)=\varphi(v)+\varphi(w) [/mm] oder?
Wie schreibt man das nieder?
b) Einfach in die Matrix Komponenten Schreiben [mm] x_{1} [/mm] in die Spalte 1 usw..?
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 }
[/mm]
c) hier bräuchte ich "auch" Hilfe, habe zwar Unterlagen... komme jedoch nicht zurecht. Kann es jemand einfach erklären?
Danke für die Hilfe im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zum Aufschreiben: du schreibst einfach [mm] \phi(v+w) [/mm] auf und [mm] \phi(v)+\phi(w) [/mm] und dann stellst du fest, dass es gleich ist. ausserdem muss noch [mm] \phi(r*v)=r*\phi(v) [/mm] sein, r skalar.
zuc)
Du findest den Kern, indem du das oder die x bestimmst, für die [mm] \phi(x)=0 [/mm] die Menge dieser Vektoren bilden den Kern,
Du findest Bild von x indem du die Bilder der Basisvektoren bildest, die bilden eine Basis des Bilds.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 02.07.2007 | | Autor: | nali |
Hallo und danke für deine Antwort.
Ich habe Kern 1 und Bild 2
Bild sind zwei weil man mit [mm] v_{1}\vektor{3 \\ 0 \\ 2} [/mm] und [mm] v_{2}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] den [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] erzeugen kann? Oder verstehe ich was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast angegeben dim(Kern)=1 und dim(Bild)=2 die Summe muss ja auch 3 sein!
das ist richtig, aber es war nach Bild und Kern selbst gefragt! das wäre dann Span deiner 2 lin unabh. Vektoren für Bild und dein auf 0 abgebildeter Vektor (und seine Vielfachen =Kern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 02.07.2007 | | Autor: | nali |
Hallo leduart,
ich verstehe diesen Satz nicht:
> das wäre dann Span deiner 2 lin unabh. Vektoren
> für Bild und dein auf 0 abgebildeter Vektor (und seine
> Vielfachen =Kern.
> Gruss leduart
Kannst du es irgendwie anders beschreiben? Vielleicht anhand dieser 3 Vekoren wie ich rauslesen kann was Bild ist. Sorry.. ich komm nicht drauf.
Das habe ich für Bild von [mm] \varphi [/mm] ...
[mm] \varphi \left( \alpha*\vektor{3 \\ 0 \\ 2} + \beta*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + \gamma*\vektor{1 \\ 2 \\ 2} \mid \alpha,\beta,\gamma \in \IR \right)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo nali
mit span meint man den Vektorraum, der von den Vktoren a und b gebildet werden. üblicherweise schreibt man dann Bild =< a,b> oder Bild wird von a und b aufgespannt. wenn es dreilin. unabhängige sind natürlich <a,b,c> usw.
oder a,b,c bilden eine Basis des Bildes. oder wenn du von R3 nach R3 abbildest, Bild ist der ganze R3.
(ich hab jetzt nicht nachgeprüft, ob die wirklich lin. unabhängig sind.
Dann hat aber dein Bild dim=3 und damit der Kern die Dim. 0, besteht also nur aus dem 0 Vektor.
Aber so wie du es aufgeschrieben hast ist es natürlich auch richtig, weil die 2 Möglichkeiten oben genau das sagen!
vielleich noch bessr: Bild = Menge aller Vektoren mit : und dann deine darstellung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 02.07.2007 | | Autor: | nali |
Diesen Satz habe ich vergessen
Sei [mm] \varphi: \IR^{3} \to \IR^{3}
[/mm]
sorry
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