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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:51 So 28.05.2006 | | Autor: | nathenatiker |
| Aufgabe | Sind folgende Abbildungen linear oder nicht?
1) [mm] f_{1}:R^{2} \to R^{2}, \vektor{x_{1} \\x_{2}} \to \vektor{x_{2}\\5x_{1}+3x_{2}}
[/mm]
2) [mm] f_{2}:R^{2} \to R^{2}, \vektor{x_{1} \\x_{2}} \to x_{1}*x_{2} [/mm] |
Hallo,
Die Definition einer linearen Abbildung lautet ja folgender maßen:
L1 F(v+w) = F(v) + F(w)
L2 $ [mm] F(\lambda [/mm] $ * v) = $ [mm] \lambda [/mm] $ * F(v)
Ich verstehe aber leider nicht, wie ich mittels dieser defintion die Aufgaben beweisen soll!
Kann mir jemand helfen, oder auch einfach ein anderes Beispiel geben, damit ich mal einen anschaulichen lösungsweg vor augen habe.
MFG
Nathenatiker
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zu L1:
Setze einfach [mm] $\vektor{v_1 \\ v_2}$ [/mm] ein und rechne aus, das selbe mit [mm] $\vektor{w_1 \\ w_2}$. [/mm] Danach das gleiche nochmal, diesmal mit [mm] \vektor{(v_1+w_1) \\ (v_1+w_1)}. [/mm] Ist die Summe der ersten beiden ergebisse gleich dem letzten ergebnis, ist die Aussage wahr.
Also:
[mm] $\vektor{v_1 \\ v_2} \mapsto \vektor{v_2 \\ 5v_1+3v_2}$
[/mm]
[mm] $\vektor{w_1 \\ w_2} \mapsto \vektor{w_2 \\ 5w_1+3w_2}$
[/mm]
die Addition liefert dann
[mm] $\vektor{v_2+w_2 \\ 5(v_1+w_1)+3(v_2+w_2)}$
[/mm]
Und das ist das gleiche wie
[mm] $\vektor{(v_1+w_1) \\ (v_2+w_2)} \mapsto \vektor{(v_2+w_2) \\ 5(v_1+w_1)+3(v_2+w_2)}$
[/mm]
Damit trifft das Kriterium zu.
Bei der zweiten Aufgabe erhälst du ebenso:
[mm] $(v_1*v_2)+(w_1*w_2) \not=(v_1+w_1)(v_2+w_2)$
[/mm]
Hier trifft das Kriterium also nicht zu, du brauchst gar nicht weiterzumachen.
Zu L2:
Setze einfach [mm] $\vektor{\lambda v_1\\ \lambda v_2}$ [/mm] sowie [mm] $\vektor{v_1\\v_2}$ [/mm] ein. Ist das erste das [mm] $\lambda$-fache [/mm] vom zweiten, trifft auch dieses kriterium zu.
Bei der ersten Aufgabe erhälst du
[mm] \vektor{( \lambda v_1) \\ ( \lambda v_2)} \mapsto \vektor{( \lambda v_2) \\ 5( \lambda v_1)+3( \lambda v_2)}
[/mm]
Da das offensichtlich das gleiche wie [mm] $\lambda$\vektor{(v_2) \\ 5(v_1)+3(v_2)} [/mm] ist, trifft das Kriterium zu.
bei der zweiten Aufgabe erhälst du dementsprechend:
[mm] $\lambda$^2v_1v_2 \not=$\lambda$ (v_1v_2)
[/mm]
Auch das zweite kriterium trifft nicht zu.
Sorry wegen der Verspätung, hatte ein paar probleme...
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Hallo,
danke, jetzt hab ichs verstanden,
hab jetzt nur noch mal kurz ne frage zu dieser Aufgabe:
[mm] f:R^{3} \to R^{2}, \vektor{x_{1} \\x_{2}\\x_{3}} \to \vektor{|x_{1}| \\ 0}
[/mm]
Nach meiner Rechnung ist es eine lineare Abbildung,oder?
hätte nur gerne eine Bestätigung, weil ich mir bei L2 nicht 100% sicher bin.
MFG
Nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 So 28.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nathenatiker:
Wie hast du das gerechnet? [mm] |v1+w1|\ne [/mm] |v1|+|w1|
also?
Gruss leduart
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Hallo,
oh, das stimmt natürlich. gut damit hätte sich dass dan geklärt.
Danke für die Antworten.
MFG
Nathenatiker
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