Lineare Abbildung+Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in. Ich habe hier eine Aufgabe gelöst. möchte wissen ob ich es richtig gemacht habe. Danke.
Sei V der vektorraum der reelen Polynome in einer Variablen vom Grad [mm] \le4.
[/mm]
zeigen Sie dass die Abbildung linear ist.
[mm] \pi:f \to f+2f^{'}+f^{''}.
[/mm]
Also ich habe mir erstmal noch ein Element g [mm] \in [/mm] V gewählt.
[mm] \pi(f+g)=f+g+2(f+g)^{'}+(f+g)^{''}
[/mm]
[mm] =f+g+(2f+2g)^{'}+(f^{''}+g^{''}
[/mm]
[mm] =f+g+2f^{'}+2g^{'}+f^{''}+g^{''}
[/mm]
[mm] =f+2f^{'}+f^{''}+g+2g^{'}+g^{''}
[/mm]
= [mm] \pi(f)+ \pi(g)
[/mm]
Jetzt mache ich es mit eine Skalare. sei [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm] \pi(\alpha f)=\alpha f+2\alpha f^{'}+\alpha f^{''}.
[/mm]
ich glaube ich kann hier alfa einfach raus ziehen.
[mm] =\alpha( f+2f^{'}+f^{''})
[/mm]
[mm] =\alpha\pi(f)
[/mm]
Jetz bin ich fast fertig, wenn das obere stimmt. Ich soll noch die Matrix von [mm] \pi [/mm] in der Basis [mm] 1,X^{1},X^{2},X^{3},X^{4}. [/mm] Wie geht das? kann jemand mir ein beispiel machen. danke.
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> Sei V der vektorraum der reelen Polynome in einer Variablen
> vom Grad [mm]\le4.[/mm]
> zeigen Sie dass die Abbildung linear ist.
> [mm]\pi:f \to f+2f^{'}+f^{''}.[/mm]
Hallo,
es ist alles richtig, ich würde es hier etwas genauer nehmen:
>
> Jetzt mache ich es mit eine Skalare. sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> [mm][mm] \pi(\alpha [/mm] f)=
[mm] (\alpha f)+(2\alpha f)^{'}+(\alpha f)^{''} [/mm]
> Jetz bin ich fast fertig, wenn das obere stimmt. Ich soll
> noch die Matrix von [mm]\pi[/mm] in der Basis
> [mm]1,X^{1},X^{2},X^{3},X^{4}.[/mm] Wie geht das? kann jemand mir
> ein beispiel machen. danke.
Du mußt Dir die Bilder der Basisvektoren überlegen, und die Ergebnisse der überlegung in einer Matrix anordnen:
[mm] \pi(1)= [/mm] 1*1 + 0x + [mm] 0x^{2} [/mm] + [mm] 0x^{3} [/mm] + [mm] 0x^{4}
[/mm]
[mm] \pi(x)= [/mm] 2*1 + 1x + [mm] 0x^{2} [/mm] + [mm] 0x^{3} [/mm] + [mm] 0x^{4}
[/mm]
[mm] \pi(x^{2})=...
[/mm]
[mm] \pi(x^{3})=...
[/mm]
[mm] \pi(x^{4})=...
[/mm]
Nun die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & ... & ... & ... \\ 0 & 1 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & ... & ... }
[/mm]
Das Prinzip ist klar, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
> >
> > Sei V der vektorraum der reelen Polynome in einer
> Variablen
> > vom Grad [mm]\le4.[/mm]
> > zeigen Sie dass die Abbildung linear ist.
> > [mm]\pi:f \to f+2f^{'}+f^{''}.[/mm]
>
> Hallo,
> es ist alles richtig, ich würde es hier etwas genauer
> nehmen:
>
> >
> > Jetzt mache ich es mit eine Skalare. sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
> > [mm][mm]\pi(\alpha[/mm] f)=
[mm](\alpha f)+(2\alpha f)^{'}+(\alpha f)^{''}[/mm]
> Jetz bin ich fast fertig, wenn das obere stimmt. Ich soll
> noch die Matrix von [mm]\pi[/mm] in der Basis
> [mm]1,X^{1},X^{2},X^{3},X^{4}.[/mm] Wie geht das? kann jemand mir
> ein beispiel machen. danke.
Du mußt Dir die Bilder der Basisvektoren überlegen, und die Ergebnisse der überlegung in einer Matrix anordnen:
[mm]\pi(1)=[/mm] 1*1 + 0x + [mm]0x^{2}[/mm] + [mm]0x^{3}[/mm] + [mm]0x^{4}[/mm]
[mm]\pi(x)=[/mm] 2*1 + 1x + [mm]0x^{2}[/mm] + [mm]0x^{3}[/mm] + [mm]0x^{4}[/mm]
Hallo, Danke dir ertsmal. hast du hier oben ein Tipfehlerm, oder woher kommt disese 2, Also ich soll die Bais abbilden, und die Bilder was raus kommt wieder mit meine Basis darstellen. dann nehme ich die koeffizienten für meine matrix. Ok ich habe nicht verstanden woher du die 2 hast. Wir bilden Ja x ab.(oben 2. zeile)
[mm]\pi(x^{2})=...[/mm]
[mm]\pi(x^{3})=...[/mm]
[mm]\pi(x^{4})=...[/mm]
Nun die Matrix:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & ... & ... & ... \\ 0 & 1 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & ... & ... }[/mm]
Das Prinzip ist klar, oder?
Gruß v. Angela
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> > > [mm]\pi:f \to f+2f^{'}+f^{''}.[/mm]
Du mußt Dir die Bilder der Basisvektoren überlegen, und die Ergebnisse der überlegung in einer Matrix anordnen:
[mm]\pi(1)=[/mm] 1*1 + 0x + [mm]0x^{2}[/mm] + [mm]0x^{3}[/mm] + [mm]0x^{4}[/mm]
[mm]\pi(x)=[/mm] 2*1 + 1x + [mm]0x^{2}[/mm] + [mm]0x^{3}[/mm] + [mm]0x^{4}[/mm]
Hallo, Danke dir ertsmal. hast du hier oben ein Tipfehlerm, oder woher kommt disese 2
Hallo Neco,#
die 2 kommt von der Funktion [mm] \pi, [/mm] die mir sagt: Funktion+2*erste Ableitung+2.Ableitung.
Für [mm] x^{2} [/mm] kriegt man
[mm]\pi(x^{2})=[/mm] 2*1 + 4x + [mm]1x^{2}[/mm] + [mm]0x^{3}[/mm] + [mm]0x^{4}[/mm], was man in der dritten Spalte anordnet.
[mm]\pi(x^{3})=...[/mm]
[mm]\pi(x^{4})=...[/mm]
Die Matrix macht dann folgendes:
Mal angenommen, Du willst [mm] \pi( [/mm] 6*1 + 5x + [mm]4x^{2}[/mm] + [mm]3x^{3}[/mm] + [mm]2x^{4})[/mm] ausrechnen.
Dann "fütterst" Du die Matrix mit [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2}. [/mm] Also multiplizieren....
Ich hab nun keine Lust, das auszurechnen, stellen wir uns einfach mal vor, das Ergebnis würde lauten [mm] \vektor{17 \\ 13 \\ 11 \\ 7 \\ 5}. [/mm] Was sagt uns das? Es sagt uns:
[mm] \pi( [/mm] 6*1 + 5x + [mm]4x^{2}[/mm] + [mm]3x^{3}[/mm] + [mm]2x^{4})[/mm]= 17*1 + 13x + [mm]11x^{2}[/mm] + [mm]7x^{3}[/mm] + [mm]5x^{4}[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Dankeschön. war sehr ausführlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Do 23.06.2005 | | Autor: | pekola |
Das mit der 2:
Schau dir doch mal deine Abbildung $f [mm] \mapsto [/mm] ...$ an, und was aus [mm] $\pi(x)$ [/mm] wird:
[mm] $\pi(x) [/mm] = x + 2x' = x+2$
d.h. Linear-Kombination aus den ersten zwei Basisvektoren 1 und x.
Daraus ergibt sich dann auch die untere Matrix.
Jetzt Klar?
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