Linear unabhängig Dimension R4 < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
a=( 1 1 -1 [mm] 2)^{T}
[/mm]
b=(-1 1 3 [mm] 2)^{T}
[/mm]
c=(-1 4 6 [mm] -2)^{T}
[/mm]
e2=(0 1 0 [mm] 0)^{T}
[/mm]
a) Sind a,b,c, linear unabhängig?
b) Dimension des von den Vektoren aufgespannten Raumes span{a,b,c}?
c) Welcher Vektor aus dem gerade genannten span hat von e2 den kleinsten (euklidischen) Abstand?
d) Dimension die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu diesem span sind? |
Hallo,
ich würde gerne wissen, was ihr hier von meinen Lösungen/herangehensweisen haltet...v.a. würde mich eine anschaulicher erklärung der dimensionsfragen interessieren...denn das hat mich total auf dem falschen fuße erwischt heute...und meine erläuterungen im skript haben mir dann auch nicht viel gebracht...
a) nicht linear unabhängig, da die skalarprodukte aus ab,ac,bc alle drei nicht null sind?
b)da sie nicht linear unabhängig sind, und dim immer die maximale anzahl der linear unabhängigen vektoren des (unter)raums ist...dim=1??
c) das habe ich berechnet, indem ich die skalarprodukte des differenzenvektors p-e2 (p sei ein punkt, der durch eine linearkombination aus a,b,c dargestllt wird) und der jeweiligen vektoren a,b,c, (also ingesamt 3 skalarprodukte) errechnet habe, was eine GLS mit den linearfaktoren zum lösen ergab...war denn so so prinzipiell richtig? in der klausur ergaben sich dann wüste zahlen für meine vorfaktoren, sodass ich dass hier nicht mehr rekonstruieren kann und schlichtweg an meiner lösung zweifle...
d) da a,b,c alle in einer ebene liegen, dachte ich, es bleiben im R4 noch 3 andere dimensionen übrig, in denen vektoren liegen können, die orthogonal zu dieser sein könnten?
ich ahne schon, dass es wsl murks war, was ich da heute fabriziert habe, aber ich will wenigstens gewissheit...
Ich danke euch für euer unermüdliches helfen, das hat mir bei meinem engen zeitplan echt gewaltig geholfen!
LG,
LZ
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Hallo,
> Gegeben seien die Vektoren
> a=( 1 1 -1 [mm]2)^{T}[/mm]
> b=(-1 1 3 [mm]2)^{T}[/mm]
> c=(-1 4 6 [mm]-2)^{T}[/mm]
> e2=(0 1 0 [mm]0)^{T}[/mm]
>
> a) Sind a,b,c, linear unabhängig?
> b) Dimension des von den Vektoren aufgespannten Raumes
> span{a,b,c}?
> c) Welcher Vektor aus dem gerade genannten span hat von e2
> den kleinsten (euklidischen) Abstand?
> d) Dimension die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu
> diesem span sind?
> Hallo,
> ich würde gerne wissen, was ihr hier von meinen
> Lösungen/herangehensweisen haltet...v.a. würde mich eine
> anschaulicher erklärung der dimensionsfragen
> interessieren...denn das hat mich total auf dem falschen
> fuße erwischt heute...und meine erläuterungen im skript
> haben mir dann auch nicht viel gebracht...
>
> a) nicht linear unabhängig, da die skalarprodukte aus
> ab,ac,bc alle drei nicht null sind?
Nein. a, b, c sind linear unabhängig.
Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und Löse nach $\ [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] $ auf.
> b)da sie nicht linear unabhängig sind, und dim immer die
> maximale anzahl der linear unabhängigen vektoren des
> (unter)raums ist...dim=1??
Die Anzahl der Vektoren einer Basis des Vektorraums V gibt an, welche Dimension dieser hat.
In diesem Fall gilt $\ [mm] \mbox{Dim} [/mm] V = 3 $, da der Vektorraum offensichtlich von den drei Vektoren $\ a, b, c $ aufgespannt wird und wir aus Aufgabenteil a) wissen, dass $\ a, b, c $ linear unabhängig sind ( $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ eine Basis bilden)
> c) das habe ich berechnet, indem ich die skalarprodukte
> des differenzenvektors p-e2 (p sei ein punkt, der durch
> eine linearkombination aus a,b,c dargestllt wird) und der
> jeweiligen vektoren a,b,c, (also ingesamt 3 skalarprodukte)
> errechnet habe, was eine GLS mit den linearfaktoren zum
> lösen ergab...war denn so so prinzipiell richtig? in der
> klausur ergaben sich dann wüste zahlen für meine
> vorfaktoren, sodass ich dass hier nicht mehr rekonstruieren
> kann und schlichtweg an meiner lösung zweifle...
> d) da a,b,c alle in einer ebene liegen, dachte ich, es
> bleiben im R4 noch 3 andere dimensionen übrig, in denen
> vektoren liegen können, die orthogonal zu dieser sein
> könnten?
>
> ich ahne schon, dass es wsl murks war, was ich da heute
> fabriziert habe, aber ich will wenigstens gewissheit...
>
> Ich danke euch für euer unermüdliches helfen, das hat mir
> bei meinem engen zeitplan echt gewaltig geholfen!
> LG,
> LZ
Gruß
ChopSuey
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> Gegeben seien die Vektoren
> a=( 1 1 -1 [mm]2)^{T}[/mm]
> b=(-1 1 3 [mm]2)^{T}[/mm]
> c=(-1 4 6 [mm]-2)^{T}[/mm]
> e2=(0 1 0 [mm]0)^{T}[/mm]
>
> a) Sind a,b,c, linear unabhängig?
> b) Dimension des von den Vektoren aufgespannten Raumes
> span{a,b,c}?
> c) Welcher Vektor aus dem gerade genannten span hat von e2
> den kleinsten (euklidischen) Abstand?
> d) Dimension die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu
> diesem span sind?
> c) das habe ich berechnet, indem ich die skalarprodukte
> des differenzenvektors p-e2 (p sei ein punkt, der durch
> eine linearkombination aus a,b,c dargestllt wird) und der
> jeweiligen vektoren a,b,c, (also ingesamt 3 skalarprodukte)
> errechnet habe,
Hallo,
wenn Du dann noch alle Produkte =0 gesetzt hast, ist es richtig, wenn es mir auch unbequem vorkommt.
> was eine GLS mit den linearfaktoren zum
> lösen ergab...
Ja.
> d) da a,b,c alle in einer ebene liegen,
Der Span ist ein dreidimensionaler UR des [mm] \IR^4, [/mm] also eine Hyperebene.
Gesucht ist der Orthogonalraum zu span(a,b,c), die Mange aller Vektoren, die zu denen des Spans senkrecht sind.
Du bekommst sie, indem Du das System
a*x=0
b*x=0
c*x=0
löst, also den Kern der Matrix
[mm] \vektor{a^{T}\\b^{T}\\c^{T}} [/mm]
bestimmst.
Er ist eindimensional.
Wenn d eine Basis dieses Raumes ist, dann kannst Du c) auch lösen, indem Du span(a,b,c) mit der Geraden durch [mm] e_2 [/mm] in Richtung d schneidest.
Hierbei gibt's wahrscheinlich weniger Fehler als bei Deinem Lösungsweg.
Gruß v. Angela
> dachte ich, es
> bleiben im R4 noch 3 andere dimensionen übrig, in denen
> vektoren liegen können, die orthogonal zu dieser sein
> könnten?
>
> ich ahne schon, dass es wsl murks war, was ich da heute
> fabriziert habe, aber ich will wenigstens gewissheit...
>
> Ich danke euch für euer unermüdliches helfen, das hat mir
> bei meinem engen zeitplan echt gewaltig geholfen!
> LG,
> LZ
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