Linear Unabhängige Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:57 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Jarkiro |
| Aufgabe | Sei
[mm] A=\pmat{ -1 & a \\ 0 & -1 }
[/mm]
Wählen Sie a∈R, so dass A:C2→C2
a) zwei linear unabhängige Eigenvektoren hat.
b) höchstens einen linear unabhängigen Eigenvektor hat. |
Einen wunderschönen Guten Morgen,
ich verzweifle gerade an einer Aufgabe die laut Tutor eigentlich 2-3 Minuten in Anspruch nimmt. Allerdings steh ich völlig auf dem Schlauch.
Es wird ein a in dieser Matrix gesucht, so dass nur zwei Eigenvektoren rauskommen, die linear unabhängig sind.
Das heißt ich bräuchte sowas wie
A * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha*x \\\alpha* y}
[/mm]
und
A * [mm] \vektor{w \\ v} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha*w \\\alpha* v}
[/mm]
Ich glaube zu wissen wie ich die Bedingung für b) erfüllen kann, in dem ich a auf 0 setze, rechne ich ja mit der Einheitsmatrix.... und stelle gerade fest das ich damit unendlich viele Erzeuge.
Wie gesagt, mir fehlt gerade nur der Anstoß, wie die Anzahl der Linear Unabhängigen Vektoren zu a stehen. Weil das wäre ja die Dimension der Basis. Allerdings hilft mir das bei den Einheitsvektoren weiter.
Wie gesagt, ich habe das Gefühl ich hänge mich hier völlig auf, ein kleiner Schubser würde mir sehr helfen.
Grüße
Jar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei
> [mm]A=\pmat{ -1 & a \\ 0 & -1 }[/mm]
> Wählen Sie a∈R, so dass
> A:C2→C2
>
> a) zwei linear unabhängige Eigenvektoren hat.
> b) höchstens einen linear unabhängigen Eigenvektor hat.
> Einen wunderschönen Guten Morgen,
>
> ich verzweifle gerade an einer Aufgabe die laut Tutor
> eigentlich 2-3 Minuten in Anspruch nimmt. Allerdings steh
> ich völlig auf dem Schlauch.
>
> Es wird ein a in dieser Matrix gesucht, so dass nur zwei
> Eigenvektoren rauskommen, die linear unabhängig sind.
>
> Das heißt ich bräuchte sowas wie
>
> A * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{\alpha*x \\\alpha* y}[/mm]
>
> und
>
> A * [mm]\vektor{w \\ v}[/mm] = [mm]\vektor{\alpha*w \\\alpha* v}[/mm]
>
> Ich glaube zu wissen wie ich die Bedingung für b)
> erfüllen kann, in dem ich a auf 0 setze, rechne ich ja mit
> der Einheitsmatrix.... und stelle gerade fest das ich damit
> unendlich viele Erzeuge.
>
> Wie gesagt, mir fehlt gerade nur der Anstoß, wie die
> Anzahl der Linear Unabhängigen Vektoren zu a stehen. Weil
> das wäre ja die Dimension der Basis. Allerdings hilft mir
> das bei den Einheitsvektoren weiter.
>
> Wie gesagt, ich habe das Gefühl ich hänge mich hier
> völlig auf, ein kleiner Schubser würde mir sehr helfen.
>
> Grüße
bevor Du groß loslegst: Da dies eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix ist, ist es doch sehr einfach, erstmal die EIGENWERTE zu berechnen:
[mm] $$\det(A-\lambda*E)=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (-1-\lambda)^2-\alpha=0\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Beachte [/mm] :
[mm] $$\pmat{ -1 & \alpha \\ 0 & -1 }-\lambda*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ -1-\lambda & \alpha \\ 0 & -1-\lambda }\,.\text{)}$$
[/mm]
Diese Gleichung in [mm] $\lambda$ [/mm] kannst Du sicher lösen. Wenn sie eine Nullstelle hat (mit Vielfachheit [mm] $2\,$), [/mm] dann folgt...
Wenn sie zwei verschiedene Nullstellen hat, dann folgt...
Denk' das mal zu Ende - durchaus auch nochmal mit "Was heißt nochmal [mm] $(\lambda,v_\lambda)=(\lambda,v)$ [/mm] ist ein Eigenpaar? Es ist $v [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $A*v=\lambda*v$..."
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 23.01.2014 | | Autor: | Faffnir |
Also wenn ich das aufloese kaeme ich dann auf [mm]$\lambda$=+,-\wurzel{\alpha} [/mm]
Das heisst wenn ich 0 fuer [mm] \alpha [/mm] einsetze haette ich einen Eigenvektor, und wenn ich jede beliebige andere Zahl, z.B. 5 einsetze haette ich 2. Seh ich das richtig?
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also wenn ich das aufloese kaeme ich dann auf
> [mm]\lambda$=+,-\wurzel{\alpha}[/mm]
>
Nicht ganz: es muss heißen
[mm] \lambda_{1,2}=-1\pm\wurzel{\alpha}
[/mm]
> Das heisst wenn ich 0 fuer [mm]\alpha[/mm] einsetze haette ich einen
> Eigenvektor, und wenn ich jede beliebige andere Zahl, z.B.
> 5 einsetze haette ich 2. Seh ich das richtig?
Das siehst du völlig richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Do 23.01.2014 | | Autor: | Faffnir |
Vielen dank
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