Lin. Zweipunkt-Randwertproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 20.12.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Gegeben sei das folgende lineare Zweipunkt-Randwertproblem:
[mm] y_1' [/mm] = [mm] y_2 [/mm] + [mm] 2y_3 [/mm]
[mm] y_2' [/mm] = [mm] y_1 [/mm] + [mm] 2y_3 [/mm]
[mm] y_3' [/mm] = [mm] 2y_1 [/mm] + [mm] 2y_2 [/mm] + [mm] 3y_3 [/mm]
[mm] y_1(0) [/mm] − [mm] y_1(b) [/mm] = 1
[mm] y_2(0) [/mm] − [mm] y_2(b) [/mm] = 0
[mm] y_3(0) [/mm] − [mm] y_3(b) [/mm] = 2
(a) Formulieren Sie das Randwertproblem in Matrixschreibweise.
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems (ohne
Beachtung der Randwerte).
(c) Für welche Endzeiten b [mm] \in \IR [/mm] ist die Randwertaufgabe eindeutig lösbar?
Hinweis: Verwenden Sie die Fundamentalmatrix und leiten Sie ein lineares
Gleichungssystem (LGS) für die aus den Randwerten zu bestimmenden Konstanten
der allgemeinen Lösung her. Wann ist dieses LGS eindeutig lösbar?
(d) Bestimmen Sie für diejenigen b [mm] \in \IR, [/mm] in denen das Randwertproblem nicht
eindeutig lösbar ist, alle seine Lösungen. |
Hallo leute,
ich weiß erstmal gar nicht wie ich hier die matrix schreiben soll, dachte mir zuerst:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3} [/mm] das wäre die matrix für [mm] \vec{y'}
[/mm]
aber dann weiß ich nicht wie ich das [mm] \vec{y} [/mm] mit reinbringen soll und auch bei den randwerten, einfach nur die zahlen hinters "=" oder doch y(0) - y(b)?
kann mir jemand dabeii weiterhelfen?
danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 20.12.2009 | | Autor: | cracker |
also ich habe jetzt:
das homogene gleichungssystem:
[mm] \vec{y'} [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3} \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
aber wie bringe ich hier die randbedingungen mit ein, kann ich die einfach hinters = schreiben?
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Hallo cracker,
> also ich habe jetzt:
>
> das homogene gleichungssystem:
>
> [mm]\vec{y'}[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3} \vec{y}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
Das muss hier lauten:
[mm]\vec{y'} \red{-}\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3} \vec{y}=\vec{0}[/mm]
>
> aber wie bringe ich hier die randbedingungen mit ein, kann
> ich die einfach hinters = schreiben?
>
Siehe dazu diesen Artikel.
Gruss
MathePower
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Hallo cracker,
> Gegeben sei das folgende lineare
> Zweipunkt-Randwertproblem:
> [mm]y_1'[/mm] = [mm]y_2[/mm] + [mm]2y_3[/mm]
> [mm]y_2'[/mm] = [mm]y_1[/mm] + [mm]2y_3[/mm]
> [mm]y_3'[/mm] = [mm]2y_1[/mm] + [mm]2y_2[/mm] + [mm]3y_3[/mm]
>
> [mm]y_1(0)[/mm] − [mm]y_1(b)[/mm] = 1
> [mm]y_2(0)[/mm] − [mm]y_2(b)[/mm] = 0
> [mm]y_3(0)[/mm] − [mm]y_3(b)[/mm] = 2
> (a) Formulieren Sie das Randwertproblem in
> Matrixschreibweise.
> (b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des
> Differentialgleichungssystems (ohne
> Beachtung der Randwerte).
> (c) Für welche Endzeiten b [mm]\in \IR[/mm] ist die
> Randwertaufgabe eindeutig lösbar?
> Hinweis: Verwenden Sie die Fundamentalmatrix und leiten
> Sie ein lineares
> Gleichungssystem (LGS) für die aus den Randwerten zu
> bestimmenden Konstanten
> der allgemeinen Lösung her. Wann ist dieses LGS eindeutig
> lösbar?
> (d) Bestimmen Sie für diejenigen b [mm]\in \IR,[/mm] in denen das
> Randwertproblem nicht
> eindeutig lösbar ist, alle seine Lösungen.
> Hallo leute,
>
> ich weiß erstmal gar nicht wie ich hier die matrix
> schreiben soll, dachte mir zuerst:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3}[/mm] das wäre die
> matrix für [mm]\vec{y'}[/mm]
> aber dann weiß ich nicht wie ich das [mm]\vec{y}[/mm] mit
> reinbringen soll und auch bei den randwerten, einfach nur
> die zahlen hinters "=" oder doch y(0) - y(b)?
Ja, wenn
[mm]y:=\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}[/mm]
definiert wird.
Dann hast Du die DGL
[mm]y'=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3}*y[/mm]
mit der Randbedingung
[mm]y\left(0\right)-y\left(b\right)=\pmat{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> kann mir jemand dabeii weiterhelfen?
> danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 20.12.2009 | | Autor: | cracker |
ich bin nun bei aufgabe c)...
habe die fundamentalmatrix berechnet und jetzt müsste ich das LGS aufstellen, weiß aber nicht wirklich, was ich jetzt für die rechte seite nehmen soll...
da muss ja jetzt irgendwie das randwertproblem irgendwie mit reinbringen, oder?
meine fundamentalmatrix lautet:
[mm] \pmat{ e^{-x} & xe^{-x} & \bruch{x^2*e^{-x}}{2} \\ 0 & 0 & e^{-x} \\ -\bruch{e^{-x}}{2} & \bruch{e^{-x}}{2} - \bruch{x*e^{-x}}{2} & -\bruch{e^{-x}}{2} + \bruch{x*e^{-x}}{2} -\bruch{x^2*e^{-x}}{2}}
[/mm]
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Hallo cracker,
> ich bin nun bei aufgabe c)...
> habe die fundamentalmatrix berechnet und jetzt müsste ich
> das LGS aufstellen, weiß aber nicht wirklich, was ich
> jetzt für die rechte seite nehmen soll...
> da muss ja jetzt irgendwie das randwertproblem irgendwie
> mit reinbringen, oder?
>
> meine fundamentalmatrix lautet:
>
> [mm]\pmat{ e^{-x} & xe^{-x} & \bruch{x^2*e^{-x}}{2} \\ 0 & 0 & e^{-x} \\ -\bruch{e^{-x}}{2} & \bruch{e^{-x}}{2} - \bruch{x*e^{-x}}{2} & -\bruch{e^{-x}}{2} + \bruch{x*e^{-x}}{2} -\bruch{x^2*e^{-x}}{2}}[/mm]
>
>
"-1" ist doch nur doppelter Eigenwert.
Poste doch die Lösung des DGL-Systems, die Du erhalten hast.
Gruss
MathePower
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Oh, ja, das hab ich wohl übersehen:(...
aber komme jetzt beim eigenvektor [mm] \lamda [/mm] = 3 nicht auf den eigenvektor...(nur den nullvektor)
aber was mache ich dann bei der fundamentalmatrix mit der rechten seite? rechne jetzt noch mal den einen eigenvektor nach...
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Hallo pandabaer,
> Oh, ja, das hab ich wohl übersehen:(...
> aber komme jetzt beim eigenvektor [mm]\lamda[/mm] = 3 nicht auf den
> eigenvektor...(nur den nullvektor)
Nun, dann ist 3 kein Eigenwert der Matrix
[mm]\pmat{0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3}[/mm]
>
> aber was mache ich dann bei der fundamentalmatrix mit der
> rechten seite? rechne jetzt noch mal den einen eigenvektor
> nach...
Gruss
MathePower
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Hm, verdammt..
also meine eigenwerte müssten eigentlich stimmen:
[mm] \pmat{ 0-\lambda & 1 & 2\\ 1 & 0-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 3-\lambda} [/mm]
damit ist das charakterist. polynom: [mm] -\lambda^3 [/mm] + 3 [mm] \lambda^2 [/mm] + 9 [mm] \lambda [/mm] + 5 = 0
1. EW geraten [mm] \lambda_1 [/mm] = -1
dann [mm] polynomdiv.:-\lambda^2 [/mm] + 4 [mm] \lambda [/mm] + 5= 0
mitternachtsformel: [mm] \lambda_2= [/mm] 1 [mm] \lambda_3= [/mm] 3
hm, jetzt habe ich gerade selber gemerkt dass ich gar keinen doppelten EW habe...aber wo ist jetzt mein fehler?
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Hallo pandabaer,
> Hm, verdammt..
>
> also meine eigenwerte müssten eigentlich stimmen:
>
> [mm]\pmat{ 0-\lambda & 1 & 2\\ 1 & 0-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 3-\lambda}[/mm]
> damit ist das charakterist. polynom: [mm]-\lambda^3[/mm] + 3
> [mm]\lambda^2[/mm] + 9 [mm]\lambda[/mm] + 5 = 0
> 1. EW geraten [mm]\lambda_1[/mm] = -1
> dann [mm]polynomdiv.:-\lambda^2[/mm] + 4 [mm]\lambda[/mm] + 5= 0
>
> mitternachtsformel: [mm]\lambda_2=[/mm] 1 [mm]\lambda_3=[/mm] 3
>
> hm, jetzt habe ich gerade selber gemerkt dass ich gar
> keinen doppelten EW habe...aber wo ist jetzt mein fehler?
Nun, die Polynomdivision hast Du richtig gemacht.
Die Lösungen von
[mm]-\lambda^{2} + 4\lambda + 5= 0[/mm]
stimmen jedoch nicht.
Gruss
MathePower
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oh, habe subtrahiert nicht addiert unter der wurzel:(..
immer diese leichtsinnsfehler..
also werde ich jetzt die eigenvektoren noch einmal berechnen, und mich dann nochmal an aufgabe c und d machen
wie mache ich dann dort weiter?
fundamentalmatrix * [mm] \vec{C}'(x) [/mm] = [mm] \vec{f}
[/mm]
aber was setze ich für die rechte seite f ein?
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Hallo pandabaer,
> oh, habe subtrahiert nicht addiert unter der wurzel:(..
> immer diese leichtsinnsfehler..
> also werde ich jetzt die eigenvektoren noch einmal
> berechnen, und mich dann nochmal an aufgabe c und d machen
> wie mache ich dann dort weiter?
>
> fundamentalmatrix * [mm]\vec{C}'(x)[/mm] = [mm]\vec{f}[/mm]
> aber was setze ich für die rechte seite f ein?
Das f ergibt sich doch aus den Randbedingungen.
Nun, es ist ja gefordert
[mm]y\left(0\right)-y\left(b\right)=\pmat{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
Jetzt gilt
[mm]y\left(t\right)=c_{1}*u_{1}\left(t\right)+c_{2}*u_{2}\left(t\right)+c_{3}*u_{3}\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) & u_{2}\left(t\right) & u_{3}\left(t\right)}*\pmat{c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}}[/mm]
Gruss
MathePower
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und statt f schreibe ich jetzt einfach [mm] y\left(0\right)-y\left(b\right)=\pmat{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] ?
ich muss ja ein LGS aufstellen mit der fundamentalmatrix( laut angabe)
meine fundamentalm. ist:
[mm] \pmat{ e^{-x} & xe^{-x} & 1/2 * e^{5x} \\ 0 & 0 & 1/2 * e^{5x} \\ -1/2 * e^{-x} & 1/2*e^{-x} - 1/2 * x* e^{-x} & e^{5x}}
[/mm]
und jetzt müsste ich auf der rechten seite etwas von der RB stehen haben, aber was? dachte mir auch evtl einfach
in die gleichung
[mm] y\left(0\right)-y\left(b\right)=\pmat{1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
mit y(x) = Y(x) * [mm] \vec{C}(x)
[/mm]
und der fundamentalmatrix einmal für x=0 und für x= b alles einzusetzen, aber in der angabe stehts ja anders...
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Hallo pandabaer,
> und statt f schreibe ich jetzt einfach
> [mm]y\left(0\right)-y\left(b\right)=\pmat{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] ?
Ja.
>
> ich muss ja ein LGS aufstellen mit der fundamentalmatrix(
> laut angabe)
>
> meine fundamentalm. ist:
>
>
> [mm]\pmat{ e^{-x} & xe^{-x} & 1/2 * e^{5x} \\ 0 & 0 & 1/2 * e^{5x} \\ -1/2 * e^{-x} & 1/2*e^{-x} - 1/2 * x* e^{-x} & e^{5x}}[/mm]
Der Eigenraum zum Eigenwert -1 ist zweidimensional,
d.h. es gibt zwei Eigenvektoren zum Eigenwert -1.
Sind [mm]\overrightarrow{v_{1}}, \ \overrightarrow{v_{2}}[/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert -1,
sowie [mm]\overrightarrow{v_{3}}[/mm] der Eigenvektor zum Eigenwert 5,
so ergibt sich die Lösung des DGL-Systems zu
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*\overrightarrow{v_{1}}*e^{-x}+c_{2}*\overrightarrow{v_{2}}*e^{-x}+c_{3}*\overrightarrow{v_{3}}*e^{5x}[/mm]
Daher lautet die Fundamentalmatrix
[mm]Y\left(x\right)=\pmat{\overrightarrow{v_{1}}*e^{-x} & \overrightarrow{v_{2}}*e^{-x} & \overrightarrow{v_{3}}*e^{5x} \ }[/mm]
>
> und jetzt müsste ich auf der rechten seite etwas von der
> RB stehen haben, aber was? dachte mir auch evtl einfach
> in die gleichung
> [mm]y\left(0\right)-y\left(b\right)=\pmat{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> mit
> y(x) = Y(x) * [mm]\vec{C}(x)[/mm]
> und der fundamentalmatrix einmal für x=0 und für x= b
> alles einzusetzen, aber in der angabe stehts ja anders...
>
Gruss
MathePower
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komme jetzt auf die eigenwerte [mm] \lamda_{1,2}= [/mm] -1 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 5, bei dem letzten EW kommt aber wieder der nullvektor raus...
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Hallo pandabaer,
> komme jetzt auf die eigenwerte [mm]\lamda_{1,2}=[/mm] -1 und
> [mm]\lambda_3[/mm] = 5, bei dem letzten EW kommt aber wieder der
> nullvektor raus...
Ok, jetzt stimmen die Eigenwerte.
Poste doch die Rechenschritte, wie Du auf
den Nullvektor beim Eigenwert 5 gekommen bist.
Für jeden Eigenwert muss es eine parameterabhängige Lösung geben.
Gruss
MathePower
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[mm] \pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & 2 } \vec{v_3}= \vec{0}
[/mm]
2. und 3. zeile mal 5 und jeweils multiplizieren mit 1.
daraus folgt
[mm] \pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 0 & -24 & 12 \\ 0 & 11 & -8 }
[/mm]
dann 3. zeile mal 24/11 addiert mit 2. zeile gibt:
[mm] \pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 0 & -24 & 12 \\ 0 & 0 & -192/11}
[/mm]
damit [mm] v_3 [/mm] = 0, dann [mm] v_2 [/mm] =0 und somit [mm] v_1 [/mm] = 0
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Hallo pandabaer,
> [mm]\pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & 2 } \vec{v_3}= \vec{0}[/mm]
Die Matrix muß doch so lauten:
[mm]\pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \\ \red{2} & 2 & \red{-}2} }[/mm]
>
> 2. und 3. zeile mal 5 und jeweils multiplizieren mit 1.
>
> daraus folgt
>
> [mm]\pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 0 & -24 & 12 \\ 0 & 11 & -8 }[/mm]
>
> dann 3. zeile mal 24/11 addiert mit 2. zeile gibt:
>
> [mm]\pmat{ -5 & 1 & 2 \\ 0 & -24 & 12 \\ 0 & 0 & -192/11}[/mm]
>
> damit [mm]v_3[/mm] = 0, dann [mm]v_2[/mm] =0 und somit [mm]v_1[/mm] = 0
Gruss
MathePower
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oh, bin wohl nicht ganz bei der sache...sorry
komme nun auf den EW
[mm] \vec{v_3}= \mu [/mm] * [mm] \vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1}
[/mm]
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Hallo pandabaer,
> oh, bin wohl nicht ganz bei der sache...sorry
> komme nun auf den EW
>
> [mm]\vec{v_3}= \mu[/mm] * [mm]\vektor{1/2 \\ 1/2 \\ 1}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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