Lin. Unabh. im Q-VR R < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Vektoren $1, [mm] \sqrt{2}, \sqrt{3}$ [/mm] des [mm] $\mathbb{Q}$-Vektorraums $\mathbb{R}$ [/mm] linear unabhängig sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich soll die obige Frage beantworten und weiß auch wie man lineare Unabhängigkeit zeigt. Also "einfach" zeigen, dass der Nullvektor sich nur trivial darstellen lässt.
Nun weiß ich, dass ich in meinem Fall zeigen muss das dies tatsächlich so ist.
Ich habe mir überlegt einen Widerspruchsbeweis zu führen.
Also angenommen die Vektoren seien nicht linear unabhängig, dann gibt es neben der trivialen Lösung, noch eine weitere Darstellung des Nullvektors.
In den meisten Quellen, die ich mir diesbezüglich angesehen habe, wird einfach "ein wenig quadriert" und dann gezeigt, dass [mm] $\sqrt{x} [/mm] = [mm] \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ [/mm] aber [mm] $\sqrt{x} \notin \mathbb{Q}$.
[/mm]
Soweit so gut. Macht auch alles Sinn..
Meine Frage ist aber nun, wie man einfach so quadrieren kann?
Das würde doch in meinem speziellen Fall 1 [mm] ($\forall [/mm] i [mm] \in \{1, 2, 3\}: \lambda_i \neq 0_K$) [/mm] folgendes bedeuten:
[mm] $\lambda_1 1_V [/mm] + [mm] \lambda_2 \sqrt{2}_V [/mm] + [mm] \lambda_3 \sqrt{3}_V [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrightarrow \frac{(\lambda_1 1_V)^2 - (\lambda_2 \sqrt{2}_V)^2 - (\lambda_3 \sqrt{3}_V)^2}{2_K \lambda_2 \lambda_3} [/mm] = [mm] \sqrt{2}_V \sqrt{3}_V$
[/mm]
Wie kann ich da einfach zwei Vektoren miteinander multiplizieren?.. Addition, check, Skalarmultiplikation, check, aber Vektormultiplikation?
Ich kann mich doch schlecht auf die Körpereigenschaften von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ [/mm] berufen, oder etwa doch?
Für einen Tipp wäre ich euch sehr dankbar :)
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> Ich kann mich doch schlecht auf die Körpereigenschaften
> von [mm]\mathbb{R}[/mm] und [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm] berufen,
> oder etwa doch?
Hallo,
doch!
Du betrachtest hier zwar die reellen Zahlen als Vektoren (=Elemente eines VRes), aber deshalb bleiben sie ja trotzdem Elemente des Körpers [mm] \IR.
[/mm]
In dem Moment, in welchem Du Deine Gleichung quadrierst, rechnest Du nicht im VR, sondern im Körper. Schließlich sind's ja reelle Zahlen, um die es hier geht.
LG Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort! :)
Ich werde das jetzt so machen, aber irgendwie ist mir immernoch nicht ganz wohl dabei..
Ich hätte jetzt einfach für meinen Vaktorraum (Spezialfall $V = [mm] \mathbb{R}$) [/mm] eine "Vektormultiplikation" wie folgt definiert :
[mm] $\cdot_\mathbb{R}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; [/mm] ~ (x, y) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \cdot_\mathbb{R} [/mm] y$
und gesagt dass diese neue Verknüpfung aufgrund der Körpereigenschaften von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] eine abelsche Gruppe beschreibt und zusätzlich verträglich mit der bereits definierten Vektoraddition ist.
Ist das okay, oder ein wenig zu viel des Guten?
Viele Grüße,
Kletteraffe
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> Hallo Angela,
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> vielen Dank für deine Antwort! :)
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> Ich werde das jetzt so machen, aber irgendwie ist mir
> immernoch nicht ganz wohl dabei..
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> Ich hätte jetzt einfach für meinen Vaktorraum
> (Spezialfall [mm]V = \mathbb{R}[/mm]) eine "Vektormultiplikation"
> wie folgt definiert :
> [mm]\cdot_\mathbb{R}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; ~ (x, y) \mapsto x \cdot_\mathbb{R} y[/mm]
>
> und gesagt dass diese neue Verknüpfung aufgrund der
> Körpereigenschaften von [mm]\mathbb{R}[/mm] eine abelsche Gruppe
> beschreibt und zusätzlich verträglich mit der bereits
> definierten Vektoraddition ist.
>
> Ist das okay, oder ein wenig zu viel des Guten?
>
> Viele Grüße,
> Kletteraffe
Es ist gut, dass du dir diese Gedanken machst, aber es ist tatsächlich etwas zu viel des Guten.
[mm] $\wurzel{2}$ [/mm] ist zwar in der Zahlenmenge, die du zusammen mit einer "Element"addition und einer skalaren Multiplikation als [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IR$ [/mm] betrachten kannst, aber eben genauso gut ein Element des Körpers [mm] $\IR$.
[/mm]
Wenn du es präzisieren willst, steckt das in der Definition der skalaren Multiplikation und der Vektoraddition:
1. Ich multipliziere meinen Vektor mit einem Skalar, indem ich die gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen benutze (was geht, da [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] enthalten ist).
2. Ich addiere zwei Vektoren, indem ich die gewöhnliche Addition reeller Zahlen nutze.
Dann kannst du tatsächlich "ganz normal" damit rechnen.
lg weightgainer
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Hallo weightgainer,
auch dir vielen Dank für deine Mühe :)
> Wenn du es präzisieren willst, steckt das in der
> Definition der skalaren Multiplikation und der
> Vektoraddition:
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> 1. Ich multipliziere meinen Vektor mit einem Skalar, indem
> ich die gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen benutze
> (was geht, da [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR[/mm] enthalten ist).
Aber würde ich dadurch nicht den [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}$ [/mm] (also mit [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] als meinen Skalerenkörper) betrachten? In diesem Vektorraum wären meine Vektoren aber dann auch linear abhängig. Wenn ich den Skalarenkörper [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] setze, dann bin ich wieder am Anfang, wenn ich den Skalarenkörper [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] setze, darf ich zwar so weiterarbeiten wie gehabt und zusätzlich reelle Skalare nutzen, aber muss eben in kauf nehmen, dass meine Vektoren nicht linear unabhängig sein können.
Ich will eure Geuld echt nicht überstrapazieren, aber was ich heute nicht sauber lerne, werd ich morgen bestimmt ignorieren..
Viele Grüße,
Kletteraffe
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> Hallo weightgainer,
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> auch dir vielen Dank für deine Mühe :)
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> > Wenn du es präzisieren willst, steckt das in der
> > Definition der skalaren Multiplikation und der
> > Vektoraddition:
> >
> > 1. Ich multipliziere meinen Vektor mit einem Skalar, indem
> > ich die gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen benutze
> > (was geht, da [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR[/mm] enthalten ist).
>
> Aber würde ich dadurch nicht den [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum
> [mm]\mathbb{R}[/mm] (also mit [mm]\mathbb{R}[/mm] als meinen Skalerenkörper)
> betrachten?
Hallo,
das, was Du dastehen hast, ist eine "ganz normale" Gleichung mit Variablen und Zahlen aus [mm] \IR. [/mm] Das liegt daran, daß die Multiplikation mit Skalaren so erklärt wurde, daß sie perfekt zum Rechnen in [mm] \IR [/mm] paßt.
Die Gleichung beinhaltet nur Rechenoperationen, die es in [mm] \IR [/mm] gibt, und deshalb kannst Du hier "ganz normal " rechnen.
Mal angenommen, Ihr hättest bereits das Kreuzprodukt zweier Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] gehabt.
Es wäre
[mm] "a*1+b\wurzel{2}+c\wurzel{3}=0
[/mm]
==>
[mm] (a*1+b\wurzel{2}+c\wurzel{3})\times\vektor{1\\2\\3}=0\times\vektor{1\\2\\3}"
[/mm]
ein absolut sinnloses und unerlaubtes Tun, denn die Operation "reelle Zahl kreuz Zahlentripel" ist überhaupt nicht definiert.
Aber, wenn wir mal mit [mm] \odot[/mm] die Multiplikation von reellen Zahlen mit Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] bezeichnen, dann wäre
[mm] "a*1+b\wurzel{2}+c\wurzel{3}=0
[/mm]
==>
[mm] (a*1+b\wurzel{2}+c\wurzel{3})\odot\vektor{1\\2\\3}=0\odot\vektor{1\\2\\3}"
[/mm]
ein absolut erlaubtes Manöver.
Daß es überhaupt nicht zielführend ist, steht auf einem ganz anderen Blatt.
Ah! Jetzt kommt mir noch eine Idee.
Ich weiß jetzt, wie Du es verstehen kannst.
Im [mm] \IQ-VR \IR [/mm] haben wir die Verknüpfungen
[mm] \oplus: \IR\times\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] r_1\oplus r_2:=r_1+r_2 [/mm] für alle [mm] r_1,r_2\in \IR
[/mm]
[mm] \odot:\IQ\times \IR\to \IR [/mm] mit
[mm] q\odot [/mm] r:=q*r für alle [mm] q\in \IQ [/mm] und [mm] r\in\IR.
[/mm]
+ und * sind hierbei die Addition und Multiplikation in [mm] \IR.
[/mm]
Du hast
[mm] (a\odot 1)\oplus (b\odot\wurzel{2})\oplus (c\odot)=0
[/mm]
<==>
[mm] a*1+b*\wurzel{2}+c*\wurzel{3}=0
[/mm]
und hast die Verknüpfungen im VR zurückgeführt auf solche in [mm] \IR, [/mm] so daß Du nun ganz normal in [mm] \IR [/mm] weiterrechnen kannst.
LG Angela
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