Lin. Kongruenzen, Textaufgabe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:54 Mo 30.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Romeo und Julia haben auf ihrer Urlaubsreise viele Fotos geschossen, die sie nun ins Internet stellen wollen. Wenn sie versuchen, die Fotos in 27 Zeilen (mit gleich vielen Fotos) anzuordnen, bleiben 19 Fotos übrig. Wenn sie die Fotos in 28 Zeilen mit je 28 Fotos aufteilen wollen, ist die letzte Zeile nur zur Hälfte gefüllt.
1) Stellen Sie ein System von linearen Kongruenzen passend zur obigen Situation auf. Ist das System lösbar? Wenn ja, ist die Lösung eindeutig? (Noch keine Rechnung!)
2) Wie viele Fotos haben Romeo und Julia gemacht, wenn die Anzahl der Fotos zwischen 500 und 1000 Stück liegt? Ist diese Lösung eindeutig? |
Hallo,
bei obiger Aufgabe bräuchte ich Hilfe, da ich das Thema der linearen Kongruenzen noch nicht vollständig verinnerlicht habe.
Eine lineare Kongruenz ist ja von der Form
$ ax [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] m $. Das lässt sich ja in eine lineare diophantische Gleichung der Form
$ ax + by = m $ überführen. Die Gleichung ist lösbar genau dann, wenn $ ggT(a,b)\ [mm] \vert [/mm] \ m $
Nun weiß ich leider nicht so genau, wie ich hier ein passendes System linearer Kongruenzen aufstellen kann. In beiden Fällen werden die Fotos ja auf insgesamt 27 Zeilen verteilt. Allerdings werden jeweils unterschiedlich viele Fotos in jede Zeile gesteckt und dementsprechend bleibt jeweils ein verschiedener Rest übrig.
Im ersten Fall werden jeweils $ x $ Fotos in jede der 27 Zeilen gesteckt und es bleiben (Rest) 19 Fotos übrig.
Im zweiten Fall werden jeweils 28 Fotos in jede der 27 Zeilen gesteckt und die 28te Zeile ist nur zur Hälfte gefüllt. D.h. es bleiben (Rest) 14 Fotos übrig. Leider weiß ich noch nicht, wie ich das ganze nun zusammenbringe.
Kann mir jemand den entscheidenen Hinweis liefern, wie ich meine bisherigen Überlegungen in ein System linearer Kongruenzen übersetzen kann?
Freue mich über jeden Hinweis!
LG,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Di 31.01.2017 | | Autor: | hippias |
Ich vermute, dass Du die Aufgabenstellung falsch wiedergegeben hast, denn die Information "Wenn sie die Fotos in 28 Zeilen mit je 28 Fotos aufteilen wollen, ist die letzte Zeile nur zur Hälfte gefüllt" liefert bereits die exakte Anzahl der Bilder: [mm] $27\cdot [/mm] 28+14$.
"jeweils $ x $ Fotos in jede der 27 Zeilen gesteckt und es bleiben (Rest) 19 Fotos übrig" lässt sich durch die Kongruenz $x=19$ mod $27$ ausdrücken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 01.02.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo hippias,
vielen Dank für deine Rückmeldung. Tatsächlich hat sich in den Aufgabentext ein Fehler eingeschlichen. Ich hatte leider den Text in derselben Version und konnte die Aufgabe deshalb nicht lösen.
LG,
ChopSuey
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