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| Aufgabe | Gegeben ist das AWP: Bx''(t)+Cx(t)=b(t), x(0)=x0, x'(0)=x1,
mit B,C [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] symmetrisch und positiv definit, x [mm] \in \IR^{n} [/mm] und b stetig.
1.) Wie sieht der Ansatz für die allgemeine Lösung des homogenen Problems aus?
2.) Was kann man über die Lösung des verallgemeinerten EWPs (C-λB)q=0 aussagen?
3.) Wann spricht man von einem Resonanzfall? |
Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei diesem Beispiel helfen.
bis jetzt bin ich so weit gekommen:
1.) Der Ansatz für die allgemeine Lösung des homogenen Problems:
ph[mm] (t)=\summe_{i=1}^{n}q^{(i)}(\alpha[/mm] i*cosμi[mm] t+\beta[/mm] i*sinμit)
2.) das homogene EWP (C-λB)q=0 lässt sich auf das EWP (A-λI)v=0 reduzieren da es sich um symmetrische positiv definite Matrizen Handelt.
3.) Wenn das System aufgeschaukelt wird - bis zu seinen Grenzen belastet und dann zusammenbricht.
Ich hoffe das alles richtig und ausreichend ist.
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> Gegeben ist das AWP: Bx''(t)+Cx(t)=b(t),
> x(0)=x0, x'(0)=x1,
> mit B,C [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] symmetrisch und positiv
> definit, x [mm]\in \IR^{n}[/mm] und b stetig.
>
> 1.) Wie sieht der Ansatz für die allgemeine Lösung des
> homogenen Problems aus?
>
> 2.) Was kann man über die Lösung des verallgemeinerten
> EWPs (C-λB)q=0 aussagen?
>
> 3.) Wann spricht man von einem Resonanzfall?
> Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei diesem Beispiel
> helfen.
> bis jetzt bin ich so weit gekommen:
>
> 1.) Der Ansatz für die allgemeine Lösung des homogenen
> Problems:
>
> ph[mm] (t)=\summe_{i=1}^{n}q^{(i)}(\alpha[/mm]
> i*cosμi[mm] t+\beta[/mm]
> i*sinμit)
Hier ist nach dem Ansatz gefragt.
>
> 2.) das homogene EWP (C-λB)q=0 lässt sich auf das EWP
> (A-λI)v=0 reduzieren da es sich um symmetrische positiv
> definite Matrizen Handelt.
Mit dem Ansatz in 1) läßt sich das homogene DGL-System
auf das Eigenwertproblem
[mm]}\left(C-\lambda*B\right)q=0_{n}, \ q \in \IR^{n}[/mm]
reduzieren.
>
> 3.) Wenn das System aufgeschaukelt wird - bis zu seinen
> Grenzen belastet und dann zusammenbricht.
Das ist richtig.
Es ist noch zu klären, was für eine Bedeutung
das für das DGL-System, insbesondere für
die Inhomogenität b(t), hat.
>
> Ich hoffe das alles richtig und ausreichend ist.
>
> LG Scherzkrapferl
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> Hallo scherzkrapferl,
>
> > Gegeben ist das AWP: Bx''(t)+Cx(t)=b(t),
> > x(0)=x0, x'(0)=x1,
> > mit B,C [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] symmetrisch und positiv
> > definit, x [mm]\in \IR^{n}[/mm] und b stetig.
> >
> > 1.) Wie sieht der Ansatz für die allgemeine Lösung des
> > homogenen Problems aus?
> >
> > 2.) Was kann man über die Lösung des verallgemeinerten
> > EWPs (C-λB)q=0 aussagen?
> >
> > 3.) Wann spricht man von einem Resonanzfall?
> > Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei diesem Beispiel
> > helfen.
> > bis jetzt bin ich so weit gekommen:
> >
> > 1.) Der Ansatz für die allgemeine Lösung des homogenen
> > Problems:
> >
> > ph[mm] (t)=\summe_{i=1}^{n}q^{(i)}(\alpha[/mm]
> > i*cosμi[mm] t+\beta[/mm]
> > i*sinμit)
>
>
> Hier ist nach dem Ansatz gefragt.
>
>
also [mm] p(t)=q(\alpha [/mm] cos μt + [mm] \beta [/mm] sin μt) ?
> >
> > 2.) das homogene EWP (C-λB)q=0 lässt sich auf das EWP
> > (A-λI)v=0 reduzieren da es sich um symmetrische positiv
> > definite Matrizen Handelt.
>
>
> Mit dem Ansatz in 1) läßt sich das homogene DGL-System
> auf das Eigenwertproblem
>
> [mm]}\left(C-\lambda*B\right)q=0_{n}, \ q \in \IR^{n}[/mm]
>
> reduzieren.
>
das wäre die ganze Antwort ?
> >
> > 3.) Wenn das System aufgeschaukelt wird - bis zu seinen
> > Grenzen belastet und dann zusammenbricht.
>
>
> Das ist richtig.
>
> Es ist noch zu klären, was für eine Bedeutung
> das für das DGL-System, insbesondere für
> die Inhomogenität b(t), hat.
>
die homogene Lösung muss der Inhomogenität (bis auf die Konstanten) gleich sein ?! - sprich die Inhomogenität ist selbst Teil der Lösung
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> > Hallo scherzkrapferl,
> >
> > > Gegeben ist das AWP: Bx''(t)+Cx(t)=b(t),
> > > x(0)=x0, x'(0)=x1,
> > > mit B,C [mm]\in \IR^{n \times n}[/mm] symmetrisch und positiv
> > > definit, x [mm]\in \IR^{n}[/mm] und b stetig.
> > >
> > > 1.) Wie sieht der Ansatz für die allgemeine Lösung des
> > > homogenen Problems aus?
> > >
> > > 2.) Was kann man über die Lösung des verallgemeinerten
> > > EWPs (C-λB)q=0 aussagen?
> > >
> > > 3.) Wann spricht man von einem Resonanzfall?
> > > Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei diesem Beispiel
> > > helfen.
> > > bis jetzt bin ich so weit gekommen:
> > >
> > > 1.) Der Ansatz für die allgemeine Lösung des homogenen
> > > Problems:
> > >
> > > ph[mm] (t)=\summe_{i=1}^{n}q^{(i)}(\alpha[/mm]
> > > i*cosμi[mm] t+\beta[/mm]
> > > i*sinμit)
> >
> >
> > Hier ist nach dem Ansatz gefragt.
> >
> >
>
> also [mm]p(t)=q(\alpha[/mm] cos μt + [mm]\beta[/mm] sin μt) ?
>
Nein, der Ansatz für die allgemeine Lösung lautet:
[mm]x\left(t\right)=q*e^{\omega t}, \ q \in \IR^{n}, \omega \in \IR[/mm]
> > >
> > > 2.) das homogene EWP (C-λB)q=0 lässt sich auf das EWP
> > > (A-λI)v=0 reduzieren da es sich um symmetrische positiv
> > > definite Matrizen Handelt.
> >
> >
> > Mit dem Ansatz in 1) läßt sich das homogene DGL-System
> > auf das Eigenwertproblem
> >
> > [mm]}\left(C-\lambda*B\right)q=0_{n}, \ q \in \IR^{n}[/mm]
> >
> > reduzieren.
> >
>
> das wäre die ganze Antwort ?
>
Nicht ganz.
Aus dem Einsetzen des Ansatzes folgt,
daß [mm]\lambda < 0[/mm] ist. Daraus ergibt sich dann Deine
unter 1) genannte Lösung.
> > >
> > > 3.) Wenn das System aufgeschaukelt wird - bis zu seinen
> > > Grenzen belastet und dann zusammenbricht.
> >
> >
> > Das ist richtig.
> >
> > Es ist noch zu klären, was für eine Bedeutung
> > das für das DGL-System, insbesondere für
> > die Inhomogenität b(t), hat.
> >
>
> die homogene Lösung muss der Inhomogenität (bis auf die
> Konstanten) gleich sein ?! - sprich die Inhomogenität ist
> selbst Teil der Lösung
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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> > > >
> > > > 2.) das homogene EWP (C-λB)q=0 lässt sich auf das EWP
> > > > (A-λI)v=0 reduzieren da es sich um symmetrische positiv
> > > > definite Matrizen Handelt.
> > >
> > >
> > > Mit dem Ansatz in 1) läßt sich das homogene DGL-System
> > > auf das Eigenwertproblem
> > >
> > > [mm]}\left(C-\lambda*B\right)q=0_{n}, \ q \in \IR^{n}[/mm]
> > >
>
> > > reduzieren.
> > >
> >
> > das wäre die ganze Antwort ?
> >
>
>
> Nicht ganz.
>
> Aus dem Einsetzen des Ansatzes folgt,
> daß [mm]\lambda < 0[/mm] ist. Daraus ergibt sich dann Deine
> unter 1) genannte Lösung.
Müssten die Eigenwerte nicht laut Definition positiv sein ?
Für symmetrische, positiv definite Matrizen B,C gilt doch dass [mm] det(C-\lambda*B)=0 [/mm] -> [mm] \lambda [/mm] reell und positiv
>
> > > >
> > > > 3.) Wenn das System aufgeschaukelt wird - bis zu seinen
> > > > Grenzen belastet und dann zusammenbricht.
> > >
> > >
> > > Das ist richtig.
> > >
> > > Es ist noch zu klären, was für eine Bedeutung
> > > das für das DGL-System, insbesondere für
> > > die Inhomogenität b(t), hat.
> > >
> >
> > die homogene Lösung muss der Inhomogenität (bis auf die
> > Konstanten) gleich sein ?! - sprich die Inhomogenität ist
> > selbst Teil der Lösung
> >
>
>
> Richtig.
>
>
> >
> > LG Scherzkrapferl
>
>
> Gruss
> MathePower
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
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> > > > >
> > > > > 2.) das homogene EWP (C-λB)q=0 lässt sich auf das EWP
> > > > > (A-λI)v=0 reduzieren da es sich um symmetrische positiv
> > > > > definite Matrizen Handelt.
> > > >
> > > >
> > > > Mit dem Ansatz in 1) läßt sich das homogene DGL-System
> > > > auf das Eigenwertproblem
> > > >
> > > > [mm]}\left(C-\lambda*B\right)q=0_{n}, \ q \in \IR^{n}[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > reduzieren.
> > > >
> > >
> > > das wäre die ganze Antwort ?
> > >
> >
> >
> > Nicht ganz.
> >
> > Aus dem Einsetzen des Ansatzes folgt,
> > daß [mm]\lambda < 0[/mm] ist. Daraus ergibt sich dann Deine
> > unter 1) genannte Lösung.
>
> Müssten die Eigenwerte nicht laut Definition positiv sein
> ?
> Für symmetrische, positiv definite Matrizen B,C gilt doch
> dass [mm]det(C-\lambda*B)=0[/mm] -> [mm]\lambda[/mm] reell und positiv
>
Nein, aus dem Ansatz folgt doch zunächst:
[mm]B*q*\omega^{2}*e^[\omega*t}=-C*q*e^{\omega*t}[/mm]
Hieraus folgt: [mm]B*q*\omega^{2}+C*q=0 \gdw \left(C+\omega^{2}*B\right)*q=0_{n}[/mm]
Da das auf obiges zurückgeführt werden soll, muß [mm]\lambda=-\omega^{2} < 0[/mm] sein.
Wenn [mm]\lambda > 0[/mm] wäre, dann hättest Du Lösungen der Form
[mm]e^{\wurzel{\lambda}*t}, \ e^{-\wurzel{\lambda}*t}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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>
> Nein, aus dem Ansatz folgt doch zunächst:
>
> [mm]B*q*\omega^{2}*e^[\omega*t}=-C*q*e^{\omega*t}[/mm]
>
> Hieraus folgt: [mm]B*q*\omega^{2}+C*q=0 \gdw \left(C+\omega^{2}*B\right)*q=0_{n}[/mm]
>
> Da das auf obiges zurückgeführt werden soll, muß
> [mm]\lambda=-\omega^{2} < 0[/mm] sein.
>
> Wenn [mm]\lambda > 0[/mm] wäre, dann hättest Du Lösungen der
> Form
>
> [mm]e^{\wurzel{\lambda}*t}, \ e^{-\wurzel{\lambda}*t}[/mm]
Ah ok danke :) LG Scherzkrapferl
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