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Hallo mathefreunde,
ich hab ein problem, und zwar geht es darum das fundamentalsystem und damit die allg. Lösung eines DGl.systems zu bestimmen.
zunächst die Aufgabe:
[mm] \bruch{dx}{dt}=2*x+y
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dt}=2*y+z [/mm]
[mm] \bruch{dz}{dt}=2*z
[/mm]
Was ich weis ist das man erst die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] und Eigenvektoren v,w,p der zugehörigen Koeffizientenmatrix A bestimmt
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Ok, da ist nämlich mein Problem, denn A hat drei gleiche Eigenwerte [mm] \lambda=2.
[/mm]
Für eine [mm] 2\times2 [/mm] Matrix wäre dies kein Problem, da sieht die allg. Lsg. so aus. [mm] c_{1}*\alpha_{v}(t) [/mm] + [mm] c_{2}*\alpha_{w}(t)=((c_{1}+c_{2}*\delta*t)*v+c_{2}*w)*e^{\lambda*t} [/mm] , wobei [mm] \alpha_{v}(t)=e^{\lambda*t}*v [/mm] und [mm] \delta\in\IR [/mm] ist.
Frage: Wie sieht das Fundamentalsystem, für die 3 gleichungen, aus? Und die allg.Lösung?
Um meine Frage zu spezialisieren. Wie bestimme ich die Eigenvektoren einer 3x3-Matrix, wenn 3 gleiche Eigenwerte existieren?
Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit,
Hamiltoneon.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
so ein System löst man durch Rückwärtseinsetzen.
Löse also zuerst die DGL für z:
[mm]\frac{{dz}}{{dt}}\; = \;2\;z[/mm]
Hieraus ergibt sich eine Lösung für z(t)
Löse dann die DGL [mm]\frac{{dy}}{{dt}}\; = \;2\;y\; + \;z[/mm]
Die homogene Lösung dieser DGL ist klar. Löse die imhogene DGL mit dem Ansatz [mm]y\left( t \right)\; = \;\left( {b_0 \; + \;b_1 t} \right)\;e^{2t} [/mm].
Danach gehst löst Du dann die DGL [mm]\frac{{dx}}{{dt}}\; = \;2\;x\; + \;y[/mm]. Homogene Lösung ist klar. Löse dann die inhomogene DGL mit dem Ansatz [mm]x\left( t \right)\; = \;\left( {a_0 \; + \;a_1 t\; + \;a_2 t^2 } \right)\;e^{2t} [/mm]
Das Fundamentalsystem sieht so aus:
[mm]X\left( t \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{e^{2t} } & {t\;e^{2t} } & {t^2 \;e^{2t} } \\ 0 & {e^{2t} } & {t\;e^{2t} } \\ 0 & 0 & {e^{2t} } \\ \end{array}} \right) [/mm]
Übrigens, das DGL-System liegt ja schon in Jordan-Normalform vor.
Gruss
MathePower
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Hallo,
zur Bestimmung der Eigenvektoren ist die Gleichung
[mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^k \;x\; = \;0[/mm]
zu betrachten. Die Lösungen dieser Gleichung sind dann die Eigenvektoren.
wobei nur solche Potenzen zu betrachten sind für die [mm]
\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^k \; \ne \;0[/mm]. Mögliche Werte für k sind also 1,2,3. Natürlich fängt man bei k=1 an.
Gruss
MathePower
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