Lin. Abb. versch. Berechnungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Lin_Lin |
| Aufgabe | Sei für ein [mm] \alpha \in \IR [/mm] die Abbildung f [mm] \in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4}) [/mm] gegeben durch f(x)=Ax mit
A = [mm] \pmat{4 + \alpha & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 + \alpha & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 + \alpha & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 + \alpha}
[/mm]
Bestimmen Sie Spur(f), det(f), [mm] P_{f}, [/mm] alle Eigenwerte von f mit algebraischen und geometrischen Vielfachheiten sowie Basen aller Eigenräume von f in Abhängigkeit von [mm] \alpha.
[/mm]
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass f für alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] genau 3 verschiedene Eigenwerte hat. |
Hallo =)
Ohne großes Vorgelaber mein erstes Problem: Ich habe ziemliche Lücken was Lineare Abbildungen angeht und weiß nicht wie f(x) = Ax überhaupt aussehen soll. Da f [mm] \in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4}) [/mm] müsste f ja von [mm] \IR^{4} [/mm] nach [mm] \IR^{4} [/mm] abbilden. Hier bin ich von dem "hoch 4" verwirrt. Meistens schreibt man ja nur "hoch 4" wenn Vektoren gemeint sind. A ist aber ja eine 4*4 Matrix. Wie kann/soll ich mir nun x vorstellen? Als Vektor würde x keinen Sinn machen (weil ich ja Spur(f), det(f) usw. berechnen soll). Oder ist x hierbei einfach nur ein Skalar?
Sobald ich weiß wie f(x) eigentlich aussieht, dürften Spur, Determinante, Eigenwerte keine Probleme mehr machen. Die Vielfachheiten schau ich dann mal ob ich sie hinbekomme. Das bestimmen der Basen aller Eigenräume von f wird mir aber wahrscheinlich wieder Schwierigkeiten bereiten.
Vielen Dank schonmal für Anregungen und Hilfestellungen =)
Liebe Grüße
Lin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lin_Lin,
> Sei für ein [mm]\alpha \in \IR[/mm] die Abbildung f [mm]\in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4})[/mm]
> gegeben durch f(x)=Ax mit
> A = [mm]\pmat{4 + \alpha & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 + \alpha & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 + \alpha & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 + \alpha}[/mm]
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> Bestimmen Sie Spur(f), det(f), [mm]P_{f},[/mm] alle Eigenwerte von f
> mit algebraischen und geometrischen Vielfachheiten sowie
> Basen aller Eigenräume von f in Abhängigkeit von [mm]\alpha.[/mm]
> Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass f für alle [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> genau 3 verschiedene Eigenwerte hat.
> Hallo =)
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> Ohne großes Vorgelaber mein erstes Problem: Ich habe
> ziemliche Lücken was Lineare Abbildungen angeht und weiß
> nicht wie f(x) = Ax überhaupt aussehen soll. Da f [mm]\in \mathcal{L}(\IR^{4},\IR^{4})[/mm]
> müsste f ja von [mm]\IR^{4}[/mm] nach [mm]\IR^{4}[/mm] abbilden.
Ganz genau!
> Hier bin
> ich von dem "hoch 4" verwirrt. Meistens schreibt man ja nur
> "hoch 4" wenn Vektoren gemeint sind. A ist aber ja eine 4*4
> Matrix. Wie kann/soll ich mir nun x vorstellen? Als Vektor
> würde x keinen Sinn machen
Na doch, mit [mm]f(x)[/mm] ist [mm]f(\vec x)[/mm] gemeint
Und [mm]\vec x[/mm] ist aus dem [mm]\IR^4[/mm]
Also [mm]f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\right)[/mm]
Und statt [mm]f:\IR^4\to\IR^4, \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\mapsto f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\right)[/mm] hat man hier die Form
[mm]f:\IR^4\to\IR^4, \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\mapsto \pmat{4 + \alpha & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 + \alpha & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 + \alpha & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 + \alpha}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}[/mm]
Das bildet also [mm]\vec x[/mm] ab auf [mm]A\cdot{}\vec x[/mm] , was ein Vektor im [mm]\IR^4[/mm] ist ([mm]4\times 4[/mm]-Matrix "mal" [mm]4\times 1[/mm]-Vektor = [mm]4\times 1[/mm]-Vektor)
> (weil ich ja Spur(f), det(f)
> usw. berechnen soll). Oder ist x hierbei einfach nur ein
> Skalar?
>
> Sobald ich weiß wie f(x) eigentlich aussieht, dürften
> Spur, Determinante, Eigenwerte keine Probleme mehr machen.
> Die Vielfachheiten schau ich dann mal ob ich sie
> hinbekomme. Das bestimmen der Basen aller Eigenräume von f
> wird mir aber wahrscheinlich wieder Schwierigkeiten
> bereiten.
>
> Vielen Dank schonmal für Anregungen und Hilfestellungen
> =)
> Liebe Grüße
> Lin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Lin_Lin |
Ok, aber wie berechne ich dann z.Bsp. die Spur und die Determinante von f? Das ist ja jeweils nur für quadratische Matrizen definiert.
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> Ok, aber wie berechne ich dann z.Bsp. die Spur und die
> Determinante von f? Das ist ja jeweils nur für
> quadratische Matrizen definiert.
Hallo,
ein Blick in die Unterlagen würde vermutlich echt helfen.
Da könntest Du nämlich feststellen, daß die Determinante und Spur einer linearen Abbildung die Det. bzw. Spur ihrer darstellenden Matrix bzgl irgendeiner Basis sind.
Und die Darstellungsmatrix von f ist halt die Matrix A.
LG Angela
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