Lin. Abb. bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Fr 03.06.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es sei die Menge
[mm] V=\{M=\pmat{a&b\\c&d} \in \IC^{2x2}|a+d=0\wedge M_{} hermitesch\}
[/mm]
gegeben. Weiter seien z,w [mm] \in \IC [/mm] zwei komplexe Zahlen mit [mm] z\overline{z}+w\overline{w}=1, [/mm] so dass
[mm] A=\pmat{z&-\overline{w}\\w&\overline{z}} \in [/mm] SU(2)
gilt.
a) Zeige, dass V ein reeller Vektorraum mit der Basis
[mm] H_1=\pmat{1&0\\0&-1}, H_2=\pmat{0&1\\1&0}, H_3=\pmat{0&i\\-i&0}
[/mm]
ist.
b) Zeige, dass durch [mm] \phi_{A}(H)=AH\overline{A}^{T} (H\in [/mm] V) eine bijektive Abbildung definiert ist.
c) Bestimme die Abbildungsmatrix von [mm] \phi_A [/mm] bezüglich der Basis [mm] H=\{H_1,H_2,H_3\}. [/mm] Liegt sie in SO(3)
d) Gib ein Skalarprodukt auf V an bezüglich dem [mm] \phi_A [/mm] eine Isometrie ist. |
Hallo! Hänge an Aufgabenteil (b) fest, wäre nett wenn mir da jemand einen Tipp geben kann und evtl. auch sagen kann ob ich die (a) so stehen lassen kann.
(a) Zünächst habe ich die komplexen Zahlen a,b,c,d geschrieben als:
[mm] a:=a_{1}+b_{1}i [/mm]
[mm] b:=a_{2}+b_{2}i [/mm]
[mm] c:=a_{3}+b_{3}i [/mm]
[mm] d:=a_{4}+b_{4}i [/mm]
[mm] \Rightarrow M=\pmat{a_{1}+b_{1}i&a_{2}+b_{2}i \\ a_{3}+b_{3}i & a_{4}+b_{4}i }
[/mm]
Wegen a+d=0 gilt nun [mm] M=\pmat{a_{1}+b_{1}i&a_{2}+b_{2}i \\ a_{3}+b_{3}i & -(a_{1}+b_{1}i) } [/mm] (*) und wegen M hermitesch:
[mm] M=(\*)=M^{T}=\pmat{a_{1}-b_{1}i&a_{3}-b_{3}i \\ a_{2}-b_{2}i & -(a_{1}-b_{1}i) }
[/mm]
Damit folgt: [mm] a_{1}-b_{1}i=-a_{1}+b_{1}i \gdw b_{1}i=-b_{1}i \gdw b_1=0
[/mm]
Und weiter: [mm] a_{2}+b_{2}i=a_{3}-b_{3}i \gdw a_{2}=a_{3} \wedge b_{2}=-b_{3}
[/mm]
Damit ergibt sich für [mm] M=\pmat{a_1 & a_{2}+b_{2}i \\ a_{2}-b_2{i} & -a_1}
[/mm]
Also ist M durch die Basen [mm] H_j [/mm] darstellbar:
[mm] M=a_{1}*H_{1}+a_{2}*H_{2}+b_{2}*H_{3}
[/mm]
So ok?
Zu (b) hab ich nicht wirklich eine gute Idee. Kann ich veruschen zu zeigen dass eine Umkehrabbildung [mm] \phi_{A}^{-1} [/mm] existiert oder bin ich da ganz auf dem Holzweg?
Bei (c) bräuchte ich auch etwas Hilfe.. Abbildungsmatrix ist klar, kannte ich bis jetzt aber nur mit Basisvektoren, nicht mit Matrizen, die eine Basis bilden.
Ist das Vorgehen da dann ähnlich?
Vielen Dank erstmal!! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 03.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei die Menge
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> [mm]V=\{M=\pmat{a&b\\c&d} \in \IC^{2x2}|a+d=0\wedge M_{} hermitesch\}[/mm]
>
> gegeben. Weiter seien z,w [mm]\in \IC[/mm] zwei komplexe Zahlen mit
> [mm]z\overline{z}+w\overline{w}=1,[/mm] so dass
>
> [mm]A=\pmat{z&-\overline{w}\\w&\overline{z}} \in[/mm] SU(2)
>
> gilt.
>
> a) Zeige, dass V ein reeller Vektorraum mit der Basis
> [mm]H_1=\pmat{1&0\\0&-1}, H_2=\pmat{0&1\\1&0}, H_3=\pmat{0&i\\-i&0}[/mm]
>
> ist.
>
> b) Zeige, dass durch [mm]\phi_{A}(H)=AH\overline{A}^{T} (H\in[/mm]
> V) eine bijektive Abbildung definiert ist.
>
> c) Bestimme die Abbildungsmatrix von [mm]\phi_A[/mm] bezüglich der
> Basis [mm]H=\{H_1,H_2,H_3\}.[/mm] Liegt sie in SO(3)
>
> d) Gib ein Skalarprodukt auf V an bezüglich dem [mm]\phi_A[/mm]
> eine Isometrie ist.
> Hallo! Hänge an Aufgabenteil (b) fest, wäre nett wenn
> mir da jemand einen Tipp geben kann und evtl. auch sagen
> kann ob ich die (a) so stehen lassen kann.
>
> (a) Zünächst habe ich die komplexen Zahlen a,b,c,d
> geschrieben als:
>
> [mm]a:=a_{1}+b_{1}i[/mm]
> [mm]b:=a_{2}+b_{2}i[/mm]
> [mm]c:=a_{3}+b_{3}i[/mm]
> [mm]d:=a_{4}+b_{4}i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow M=\pmat{a_{1}+b_{1}i&a_{2}+b_{2}i \\ a_{3}+b_{3}i & a_{4}+b_{4}i }[/mm]
>
> Wegen a+d=0 gilt nun [mm]M=\pmat{a_{1}+b_{1}i&a_{2}+b_{2}i \\ a_{3}+b_{3}i & -(a_{1}+b_{1}i) }[/mm]
> (*) und wegen M hermitesch:
>
> [mm]M=(\*)=M^{T}=\pmat{a_{1}-b_{1}i&a_{3}-b_{3}i \\ a_{2}-b_{2}i & -(a_{1}-b_{1}i) }[/mm]
>
> Damit folgt: [mm]a_{1}-b_{1}i=-a_{1}+b_{1}i \gdw b_{1}i=-b_{1}i \gdw b_1=0[/mm]
>
> Und weiter: [mm]a_{2}+b_{2}i=a_{3}-b_{3}i \gdw a_{2}=a_{3} \wedge b_{2}=-b_{3}[/mm]
>
> Damit ergibt sich für [mm]M=\pmat{a_1 & a_{2}+b_{2}i \\ a_{2}-b_2{i} & -a_1}[/mm]
>
> Also ist M durch die Basen [mm]H_j[/mm] darstellbar:
>
> [mm]M=a_{1}*H_{1}+a_{2}*H_{2}+b_{2}*H_{3}[/mm]
>
> So ok?
>
> Zu (b) hab ich nicht wirklich eine gute Idee. Kann ich
> veruschen zu zeigen dass eine Umkehrabbildung [mm]\phi_{A}^{-1}[/mm]
> existiert oder bin ich da ganz auf dem Holzweg?
Du musst Injektivität und Surjektivität zeigen. Injektivität ist einfach, weil A eine invertierbare Matrix ist. Wie sieht's mir der Surjektivität aus?
> Bei (c) bräuchte ich auch etwas Hilfe.. Abbildungsmatrix
> ist klar, kannte ich bis jetzt aber nur mit Basisvektoren,
> nicht mit Matrizen, die eine Basis bilden.
> Ist das Vorgehen da dann ähnlich?#
Nicht nur ähnlich: genauso: berechne [mm] $\phi_A(H_1)$ [/mm] und drücke das Ergebnis als Linearkombination der [mm] $H_1,H_2,H_3$ [/mm] aus.
Viele Grüße
Rainer
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