Lin. Abb. Matrixbestimmung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Di 19.07.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Sei P2 der R-Vektorraum der Polynome vom Grad <_2 und
f: P2 -> [mm] R^3, [/mm] p(x) -> [mm] \vektor{p(0) \\ p'(0) + p(1) \\ p''(0) + p(-1) }
[/mm]
a) Bestimme M(f,B,B') für die Basen B = 1,x,x²von P2 und die kanonische Basis B' von [mm] R^3.
[/mm]
b) Zeige, dass die Umkehrabbildung von f existiert und bestimme sie.
Meine Lösung:
zu a) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 }
[/mm]
zu b) Muss man zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist ? Dann reicht es doch zu zeigen,dass f injektiv ist => f surjektiv wegen der Linearität.
Dazu kann ich doch die Matrix benutzen und den kern bestimmen,oder ?
Aber wie bestimme ich die U-Abbildung an sich ?
Danke schon mal im Voraus !
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Fry!
> Meine Lösung:
> zu a) $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 } [/mm] $
Ja, das ist korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> zu b) Muss man zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist ? Dann reicht es doch zu zeigen,dass f injektiv ist => f surjektiv wegen der Linearität.
> Dazu kann ich doch die Matrix benutzen und den kern bestimmen,oder ?
Du hast recht. Da $V$ endlichdimensional ist, ist es hinreichend zu zeigen, dass $f$ injektiv ist. Dies kannst du, wie du ebenfalls richtig bemerkt hast, durch berechnen des Kernes tuen. Eine andere Möglichkeit wäre folgende: der Rang der Darstellungsmatrix entspricht der Dimension des Bildes. Willst du zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen gleicher Dimension bijektiv ist, so reicht es zu zeigen, dass die Dimension des Bildes der Dimension des "Quell"-Vektorraumes entspricht. Dies wiederum bedeutet, dass die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bezüglich jeder Basis regulär ist, d.h. maximalen Rang hat. Und wann ist dies der Fall? Genau dann, wenn die Determinante ungleich 0 ist. D.h. also, dass die Bijektivität der dir gegebenen Abbildung daraus folgt, dass die Determinante der [von dir in (a) berechneten Darstellungsmatrix] ungleich 0 ist - was du leicht nachrechnen kannst.
> Aber wie bestimme ich die U-Abbildung an sich ?
Hintereinanderausführung von linearen Abbildung entspricht der Multiplikation ihrer Darstellungsmatrix. Sei also [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Umkehrabbildung von $f$ und $_B M _{B'} [mm] (f^{-1})$ [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] $f^{-1}$ [/mm] bezüglich der Basen $B$ und $B'$, so ist $_B M _{B'} [mm] (f^{-1})\cdot [/mm] _{B'} M _{B} (f)$ die Darstellungsmatrix bezüglich von [mm] $f^{-1} [/mm] f=1$ bezüglich der Basis $B$; sie ist also die Einheitsmatrix; daraus folgt $_B M _{B'} [mm] (f^{-1}) [/mm] = (_{B'} M [mm] _{B}(f))^{-1}$. [/mm] Du musst also die von dir in (a) ausgerechnete Darstellungsmatrix invertieren, um eine Darstellungsmatrix von [mm] $f^{-1}$ [/mm] zu erhalten.
Liebe Grüße,
Hanno
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