Lin.Unabhängig Orthogo.Elem < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mo 19.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgendes Bsp zu lösen aber die Fragestellung verwirrt mich einwenig.
Ich soll zeigen das k paarweise orthogonale Elemente [mm] u_1,u_2,u_k [/mm] in einen mindestens k-dimensionalen Vektorraum linear unabhängig sind und danach soll cih es konkret für k=2 zeigen.
Nun steht noch ich soll in die Def. der linearen Unabhängigkeit einsetzen ,die auftretende Gleichung mit [mm] u_k [/mm] mulitplizieren und die die Orthogonalität ausnutzen.
Die Def. der linearen Unabhängikeit ist ja folgende :
[mm] \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_n*v_n=0
[/mm]
Orthogonal sind 2 Vektoren wenn das Skalarprodukt (u,v)=0 .
Aber was soll ich nun wo einsetzten bzw ist diese Eigenschaft der Orthogonaliät gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast also k paarweise orthogonale Vektoren
[mm] u_1, u_2, ...,u_k.
[/mm]
Ich hoffe, dass alle als [mm] \ne [/mm] 0 vorausgesetzt sind (anderenfalls kann man die lineare Unabhängigkeit nicht garantieren, wie man im Falle [mm] u_0=...=u_k=0 [/mm] sieht).
Sei 0= [mm] \lambda_1 u_1+...+\lambda_k u_k.
[/mm]
Multipliziere das skalar mit [mm] u_j. [/mm] Was bekommst Du ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 19.03.2012 | | Autor: | racy90 |
ja das habe ich vergessen zu schreiben das [mm] \not=0 [/mm] gilt.
Naja [mm] (0=\lambda_k*u_k)*u_k [/mm] --> [mm] 0=\lambda_k*u_k^2
[/mm]
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Hallo racy90,
> ja das habe ich vergessen zu schreiben das [mm]\not=0[/mm] gilt.
>
> Naja [mm](0=\lambda_k*u_k)*u_k[/mm] --> [mm]0=\lambda_k*u_k^2[/mm]
Daraus folgt doch, daß
[mm]0=\lambda_{k}*\vmat{u_{k}}^{2}[/mm]
Damit ergibt sich [mm]\lambda_{k}= \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 19.03.2012 | | Autor: | racy90 |
[mm] \lambda_k [/mm] =0 aber ich kann noch nicht ganz erkennen auf was es hinausläuft?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir haben
(*) 0= [mm] \lambda_1 u_1+...+\lambda_k u_k.
[/mm]
Sei j [mm] \in \{1,...,k\}
[/mm]
Multipliziert man (*) skalar mit [mm] u_j, [/mm] so bekommt man
[mm] 0=\lambda_j*|u_j|^2,
[/mm]
also [mm] 0=\lambda_j.
[/mm]
Ein kleines Gedicht:
j [mm] \in \{1,...,k\} [/mm] war beliebig,
also bist Du fertig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 19.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay und für k=2 schaut es also dann so aus
[mm] \lambda_1*\vektor{1 \\ 0}+\lambda_2*\vektor{0\\ 1}=0 [/mm]
mulitpliziere es mit [mm] u_2=\vektor{0\\ 1} [/mm] oder?
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Hallo racy90,
> okay und für k=2 schaut es also dann so aus
>
> [mm]\lambda_1*\vektor{1 \\ 0}+\lambda_2*\vektor{0\\ 1}=0[/mm]
>
Doch eher so:
[mm]\lambda_1*\vektor{1 \\ 0}+\lambda_2*\vektor{0\\ 1}=\blue{\pmat{0 \\ 0}}[/mm]
> mulitpliziere es mit [mm]u_2=\vektor{0\\ 1}[/mm] oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 19.03.2012 | | Autor: | racy90 |
oh sorry hab ich eh gemeint.
dann kommt heraus [mm] \lambda_1*0+\lambda_2*1=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] =0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 19.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke im Falle k=2 sollst du das nicht mit den ja offensichlich lin unabh, üblichen basisvektoren machen, sondern mit 2 allgemein ortogonalen [mm] (a_1,a_2), (b_1,b_2)
[/mm]
und a*b=0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 19.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay Danke!
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