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Lin.Abb. und Untervektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 02.01.2008
Autor: rainman_do

Aufgabe
Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K und L:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Ist U ein Untervektorraum von V, so ist L(U) ein Untervektorraum von W.
(b) Ist X ein Untervektorraum von W, so [mm] L^{-1} [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | L(v) [mm] \in [/mm] X} ein Untervektorraum von V.
(c) Für Untervektorräume U und U' von V gilt L(U+U') = L(U) + L(U').
(d) Für [mm] v_1,...,v_k \in [/mm] V, k [mm] \in \IN_0 [/mm] ist [mm] L(sp(v_1,...,v_k)) [/mm] = [mm] sp(L(v_1),...,L(v_k)). [/mm]

Hallo, wäre sehr nett wenn sich mal jemand meine Lösung/Ansätze durchlesen könnte und mir sagt ob das so ok ist, oder ob ich da Blödsinn erzähle. Also zu (a)

1. L(U) [mm] \not= \emptyset, [/mm] denn es gilt 0 [mm] \in [/mm] U, da U Untervektorraum ist und L(0) = 0, da L linear ist.
2. Abgeschlossenheit bzgl. Addition:
Seien [mm] v=L(u_v) [/mm] und [mm] w=L(u_w) \in [/mm] L(U) und [mm] u_v, u_w \in [/mm] U, dann gilt [mm] v+w=L(u_v) [/mm] + [mm] L(u_w) [/mm] = [mm] L(u_v [/mm] + [mm] u_w) \in [/mm] L(U), zudem gilt [mm] u_v [/mm] + [mm] u_w \in [/mm] U, da U als UVR additiv abgeschlossen ist.
3. Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation
Seien [mm] w=L(u_w) \in [/mm] L(U), [mm] u_w \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K, dann gilt [mm] \lambda [/mm] * w= [mm] \lambda [/mm] * [mm] L(u_w) [/mm] = [mm] L(\lambda u_w) \in [/mm] L(U), zudem gilt [mm] \lambda u_w \in [/mm] U, da U als UVR bzgl. skalarer Mult. abgeschlossen ist.

Also gut, L(U) ist ein Untervektorraum, muss ich noch zeigen, dass L(U) [mm] \subseteq [/mm] W gilt? Oder kann ich einfach schreiben, dass das klar ist weil das ja quasi das Bild ist?

(b) fast analog zu (a), oder?

(c) Seien { [mm] u_1,...u_n [/mm] }, { [mm] u_{1}',...,u_{m}' [/mm] } beliebige Basen von U bzw. U', [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K und w [mm] \in [/mm] L(U+U') beliebig, dann gilt
[mm] w=L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n [/mm] + [mm] \mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}') [/mm] = [mm] L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n) [/mm] + [mm] L(\mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}') [/mm]
Da w beliebig war folgt L(U+U') = L(U)+L(U')

Oder sollte ich das besser machen, indem ich beide Inklusionen zeige? Dazu bräuchte ich dann allerdings eine kleine Hilfestellung.

(d) Sei [mm] w=L(\lambda_1 v_1+...+\lamda_k v_k) [/mm] beliebig, dann gilt
[mm] w=L(\lambda_1 v_1+...+\lamda_k v_k) [/mm] = [mm] \lambda_1 L(v_1)+...+\lambda_k L(v_k) [/mm]
Da w beliebig war, gilt [mm] L(sp(v_1,...,v_k)) [/mm] = [mm] sp(L(v_1),...,L(v_k)) [/mm]
Also hierbei bin ich mir absolut unsicher, ich hab mehrere Sachen ausprobiert, aber das hier scheint mir der einzige geeignete Ansatz.

Vielen Dank für euere Hilfe schonmal im Voraus.

        
Bezug
Lin.Abb. und Untervektorräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 Do 03.01.2008
Autor: Charlie1984

Sind das richtige Ansätze ..also ich versteh nur Bahnhof...wäre nett wen jmd. nochmal ne idee hätte.

Charlie

Bezug
        
Bezug
Lin.Abb. und Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:51 Sa 05.01.2008
Autor: Zneques

Hi,

a)
Das ist die richtige Vorgehensweise.
Dass [mm] {L(U)\subseteq W} [/mm] gilt, da [mm] {U\subseteq V} [/mm] und [mm] {L(V)\subseteq W}, [/mm] solltest du aber schon noch erwähnen.

b)
Ja, fast das selbe in grün.
Nur aufpassen, da nicht jedes [mm] {w\in W} [/mm] auch in L(V) liegen muss (L ist nicht unbedingt surjektiv).

c)
Die Umkehrung gehört dazu da sonst nur [mm] \subseteq [/mm] gezeigt ist.
D.h. für beliebige [mm] w_1 \in [/mm] L(U) und [mm] w_2 \in [/mm] L(U') gilt wieder die Gleichung
[mm] {w=L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n+\mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}')=L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n)+L(\mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}')\in L(U+U')} [/mm]

d)
Der Ansatz ist wieder richtig. Nur, wie schon bei c), fehlt die Rückrichtung, da sonst nur [mm] \subseteq [/mm] gilt.

Ciao.

Bezug
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