Limetes bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo
habe ich die folgenden Aufgaben richtig gelöst?
1.) Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine gegen a konvergente Folge mit [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Dann konvergiert ( [mm] \wurzel{a_{n}})_{n} [/mm] gegen [mm] \wurzel{a}
[/mm]
[mm] Hinweis:(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}) [/mm] ( [mm] \wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})= a_{n}-a
[/mm]
z.Z.: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig
NR: Aus dem Hinweis ergibt sich:
[mm] |a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}) (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] dies kann als wahr hingenommen worden.
Das Produkt kann man nach Satz 2 (zu dem Absolutbetrag) auseinanderziehen in
[mm] |a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})| |(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{|a_{n}- a|}{|(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|}=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Q.E.D.
Aufgabe 2.
Bestimme den Limes der Folge: ( [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n+1}{n})_{n \ge1}
[/mm]
z.Z.: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |a_{n} [/mm] - 0|= [mm] |\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig
NR: [mm] |\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}|= [/mm] (in Vorlesung bewiesen) [mm] |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|
[/mm]
Es lässt sich in Anlehnung an |x-y| [mm] \ge [/mm] |x| - |y| (in Vorlesung bewiesen) formulieren:
[mm] |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}| [/mm] - [mm] |\bruch{n}{n+1}|
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}|
[/mm]
lässt sich umdrehen in:
[mm] |\bruch{n+1}{n}| \le|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}| [/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le |\bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}|+|\bruch{n}{n+1}|
[/mm]
Betragstriche können weggelassen werden, da nach Voraussetzung [mm] n\ge [/mm] 1 und (n+1)>n (also im Zähler nichts Negatives rauskommen kann)
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}+\bruch{n}{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)[(n+1)^{2}-n^{2}+n^{2}]}{n(n+1)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2}}{n(n+1)}= \bruch{n+1}{n}= [/mm] 1 [mm] +\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
gilt für alle n [mm] \ge \bruch{1}{ \varepsilon-1}
[/mm]
Geht das so?
Vielen Dank fürs Nachgucken!!!;)
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Hallo Nescio!
Bei Aufgabe 2 hast Du auf unglaublich umständliche Art und Weise lediglich nachgewiesen, dass gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n} [/mm] \ = \ 1$
Hier mal mein Ansatz:
[mm] $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}\right)-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{n*n-(n+1)*(n+1)}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{-2n-1}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ (-1)*\bruch{2n+1}{(n+1)*n} \ \right|$
[/mm]
$= \ [mm] \left| \ -1 \ \right| [/mm] * [mm] \left| \ \bruch{2n+1}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] 1*\left| \ \bruch{2n+1}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2n+1}{n*(n+1)} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \bruch{2n+\red{2}}{(n+1)*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(n+1)}{(n+1)*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{n} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Noch einfacher geht es natürlich durch die Anwendung der Grenzwertsätze. Dürft Ihr diese verwenden?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Di 22.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Nescio,
> [mm]\left|a_n - a\right| = \left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| < \varepsilon[/mm] dies kann als wahr hingenommen worden.
Und jetzt sagst Du richtig:
> [mm]\left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| = \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm]
Aber damit sind wir doch schon fertig, oder nicht? Der obige Ausdruck ist ja bereits echt kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] nach Vorraussetzung. Dann ist aber [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \varepsilon[/mm] erst Recht echt kleiner als [mm] $\varepsilon$, [/mm] da [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm].
Würd' ich jetzt so spontan sagen ... .
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Di 22.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Karl
> > [mm]\left|a_n - a\right| = \left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| < \varepsilon[/mm]
> dies kann als wahr hingenommen worden.
>
>
> Und jetzt sagst Du richtig:
>
>
> > [mm]\left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| = \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm]
>
>
> Aber damit sind wir doch schon fertig, oder nicht? Der
> obige Ausdruck ist ja bereits echt kleiner als [mm]\varepsilon[/mm]
> nach Vorraussetzung. Dann ist aber
> [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \varepsilon[/mm] erst
> Recht echt kleiner als [mm]\varepsilon[/mm], da
> [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm].
> Würd' ich jetzt so spontan sagen ... .
Leider zu spontan, denn [mm]|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm] kann kleiner 1 sein!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 22.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Ne-scio
> Hallo
>
> habe ich die folgenden Aufgaben richtig gelöst?
>
> 1.) Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine gegen a konvergente Folge mit [mm]a_{n} \ge[/mm]
> 0 für alle [mm]n\in \IN.[/mm] Dann konvergiert ( [mm]\wurzel{a_{n}})_{n}[/mm]
> gegen [mm]\wurzel{a}[/mm]
> [mm]Hinweis:(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})[/mm] (
> [mm]\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})= a_{n}-a[/mm]
>
> z.Z.: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N
> [mm]|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig
>
> NR: Aus dem Hinweis ergibt sich:
> [mm]|a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}) (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] dies kann als wahr hingenommen worden.
Als wahr hingenommen ist hier schlecht: es gilt, weil an gegen n konv. nach Vors. für alle n>N0
> Das Produkt kann man nach Satz 2 (zu dem Absolutbetrag)
> auseinanderziehen in
> [mm]|a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})| |(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{|a_{n}- a|}{|(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|}=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
hier muss auch [mm] \varepsilon [/mm] durch [mm] (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a}) [/mm] dividiert werden. dann solltest du noch [mm] (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a}) [/mm] abschätzen
und am besten das [mm] \varepsilon [/mm] oben in |an-a|< [mm] \varepsilon [/mm] durch ein anderes ersetzen.
> Q.E.D.
>
weitere Fehler im Folgenden:
> Aufgabe 2.
> Bestimme den Limes der Folge: ( [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] -
> [mm]\bruch{n+1}{n})_{n \ge1}[/mm]
>
> z.Z.: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N
> [mm]|a_{n}[/mm] - 0|= [mm]|\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Es sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig
>
> NR: [mm]|\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}|=[/mm] (in Vorlesung
> bewiesen) [mm]|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|[/mm]
>
> Es lässt sich in Anlehnung an |x-y| [mm]\ge[/mm] |x| - |y| (in
> Vorlesung bewiesen) formulieren:
>
> [mm]|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}|[/mm] -
> [mm]|\bruch{n}{n+1}|[/mm]
Das ist ein SEHR schlechter Schritt, da du ja am Ende < beweisen willst hilft das vergrößern sicher nicht! ausserdem schreibst du da ja alle Ausdrücke pos sind nur Gleichheiten hin. später lässt du mit dem Argument die Absstriche ja auch weg, warum nicht gleich?
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}|[/mm]
> lässt sich umdrehen in:
> [mm]|\bruch{n+1}{n}| \le|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}|[/mm]
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le |\bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}|+|\bruch{n}{n+1}|[/mm]
>
> Betragstriche können weggelassen werden, da nach
> Voraussetzung [mm]n\ge[/mm] 1 und (n+1)>n (also im Zähler nichts
> Negatives rauskommen kann)
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}+\bruch{n}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)[(n+1)^{2}-n^{2}+n^{2}]}{n(n+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2}}{n(n+1)}= \bruch{n+1}{n}=[/mm]
hier siehst du, dass du mit all dem hin und her nur [mm] |\bruch{n+1}{n}|=\bruch{n+1}{n} [/mm] rausgekriegt hast.
> 1 [mm]+\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
und hier kann doch [mm] \varepsilon [/mm] nicht kleiner 1 sein!
> gilt für alle n [mm]\ge \bruch{1}{ \varepsilon-1}[/mm]
wenn [mm] \varepsilon<1 [/mm] ist [mm] \bruch{1}{ \varepsilon-1} [/mm] negativ: also gälte das ab n=1!
> Geht das so?
Nein!
Der entscheidende Fehler lag am Anfang, wo du mit vergrößern angefangen hast. Aber den richtigen Weg hat dir ja jemand gezeigt.
Gruss leduart
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:11 Do 24.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo
vielen Dank für die Antwort. Ich komme leider aber nicht vorwärts:(.
[mm] \bruch{|a_n-a|}{| \wurzel{a_n}+ \wurzel{a}|}=|\wurzel{a_n}- \wurzel{a}|<\bruch{\varepsilon}{|\wurzel{a_{n}}+ \wurzel{a}|}
[/mm]
wie soll ich denn jetzt weitermachen? Ich verstehe nicht, wie ich N bestimmen soll.
Vielen Dnak im Voraus
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:00 Sa 26.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Nescio!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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