Limes vertauschen Zählmaß < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Di 26.11.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n,i})_{n,i\in\IN} [/mm] eine unendliche Matrix mit nichtnegativen reellen Einträgen [mm] a_{n,i}, [/mm] sodass die Folge [mm] (a_{n,i})_{n\in\N} [/mm] für alle [mm] i\in\IN [/mm] monoton wachsend und konvergent ist. Zeigen sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}a_{n,i}=\summe_{i=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i} [/mm] |
Hallo.
Wir haben zwar als Tipp bekommen, dass wir diese Summen als Integrale bzgl des Zählmaßes auf [mm] (\IN,\mathcal{P}(\IN)) [/mm] auffassen sollen, aber ich komme trotzdem nicht so wirklich damit zurecht.
Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}=a_{i} [/mm] für alle [mm] i\in\IN
[/mm]
Ich kann ja [mm] a_{n,i} [/mm] als Funktion auffassen mit [mm] a_n: \IN \to \IR_{\ge 0}, a_n(i)=a_{n,i}
[/mm]
Die Folge ist monoton steigend und konvergent, also dachte ich mir, ich könnte die Aufgabe mit dem Satz von der monotonen Konvergenz lösen.
Aber darf wie genau fasse ich denn eine Summe als Integral bzgl des Zählmaßes auf? So? : [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i} [/mm] = [mm] \integral_{\IN}^{}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}dm}, [/mm] wobei m das Zählmaß bezeichnet.
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Hiho,
> Aber darf wie genau fasse ich denn eine Summe als Integral
> bzgl des Zählmaßes auf? So? :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}[/mm] =
> [mm]\integral_{\IN}^{}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}dm},[/mm]
> wobei m das Zählmaß bezeichnet.
Ja.
Kleiner Tipp noch, da deine erste Summe ja ebenfalls "gedeckelt" ist, diese kannst du Umschreiben als:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}a_{n,i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n,i}*1_{\{i \le n\}}$
[/mm]
So erhälst du bei beiden Seiten das Integral über ganz [mm] \IN [/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Di 26.11.2013 | | Autor: | Zero_112 |
> Kleiner Tipp noch, da deine erste Summe ja ebenfalls
> "gedeckelt" ist, diese kannst du Umschreiben als:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{n,i} = \summe_{i=1}^{\infty} a_{n,i}*1_{\{i \le n\}}[/mm]
>
> So erhälst du bei beiden Seiten das Integral über ganz
> [mm]\IN[/mm]
>
> Gruß,
> Gono.
Ah, danke für den Tipp!
Also gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}a_{n,i} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{\infty}a_{n,i}*1_{\{i\le n\}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\IN}^{}{a_{n,i}1_{\{i\le n\}}dm}= \integral_{\IN}^{}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}dm}=\summe_{i=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}
[/mm]
was natürlich alles nur möglich ist, weil die Voraussetzungen für den Satz von der mon. Konv. erfüllt ist.
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Hiho,
> Also gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}a_{n,i}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{\infty}a_{n,i}*1_{\{i\le n\}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\IN}^{}{a_{n,i}1_{\{i\le n\}}dm}= \integral_{\IN}^{}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}dm}=\summe_{i=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n,i}[/mm]
>
> was natürlich alles nur möglich ist, weil die
> Voraussetzungen für den Satz von der mon. Konv. erfüllt
> ist.
Jo sieht gut aus.
Gruß,
Gono.
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