Limes und Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie dass der Limes mit der Integration nicht vertauschbar ist, dh:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{f_n(x) dx} \not= \integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) dx}.
[/mm]
Warum gilt dies trotz gleichmäßiger Konvergenz nicht? |
Guten Morgen.
Mal wieder sehr spät einen Frage von mir.
Habe versucht [mm] f_n [/mm] zu finden bei denen die ungleichheit gilt, finde aber leider keine. Wie kann ich es denn allgemein beweisen?
Hoffe es ist noch jemand wach und kann mir helfen.
Lieben Gruß Guido
|
|
| |
|
Hi,
> Zeigen Sie dass der Limes mit der Integration nicht
> vertauschbar ist, dh:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{f_n(x) dx} \not= \integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) dx}.[/mm]
>
> Warum gilt dies trotz gleichmäßiger Konvergenz nicht?
> Guten Morgen.
>
> Mal wieder sehr spät einen Frage von mir.
> Habe versucht [mm]f_n[/mm] zu finden bei denen die ungleichheit
> gilt, finde aber leider keine. Wie kann ich es denn
> allgemein beweisen?
>
ist das die ganze aufgabenstellung oder fehlt da noch was? sobald du ein gegenbeispiel hast, brauchst du natuerlich nichts mehr zu beweisen, die aussage gilt dann einfach nicht.
hier ein beispiel fuer eine fkten.-folge die glm. konvergiert, aber fuer die integral und limes trotzdem nicht vertauschen.
stell dir eine funktion vor, die immer flacher wird, aber auch immer breiter, so dass das integral konstant bleibt. Z.b.
[mm] f_n(x)=\begin{cases}
1/n & \mbox{fuer}\, x
die folge konvergiert aber glm. gegen 0. der grenzwert der integrale ist also 1, das integral des GWs ist 0. falls die [mm] $f_n$ [/mm] stetig sein sollen, musst du das beispiel etwas modifizieren, das prinzip bleibt aber das gleiche.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
Hallo Matthias
Danke für die schnelle Antwort 
kann mir die funktion nicht so gut vorstellen, da ich nicht weiß wie ich sowas integrieren sollte.
wenn ich das integral des Grenzwerts (hier = 0) nehme ist dass 0.... ok
wenn ich erst das integral nehme.... (äh von 1/n ? ) ... dann komm ich auf 1/n * x| = [mm] \infty [/mm] / [mm] \infty [/mm] = 1 ?
(Edit: natürlich immer lim wo gebraucht  )
achja....die Aufgabe ist Komplett
|
|
|
| |
|
> Hallo Matthias
>
> Danke für die schnelle Antwort
>
> kann mir die funktion nicht so gut vorstellen, da ich nicht
> weiß wie ich sowas integrieren sollte.
>
> wenn ich das integral des Grenzwerts (hier = 0) nehme ist
> dass 0.... ok
> wenn ich erst das integral nehme.... (äh von 1/n ? ) ...
> dann komm ich auf 1/n * x| = [mm]\infty[/mm] / [mm]\infty[/mm] = 1 ?
nein, n ist doch der laufindex der fkten.-folge, d.h. jede einzelne funktion der folge ist konstant=1/n. Also [mm] $f_1=1$, $f_2=1/2$, $f_3=1/3$, [/mm] usw.. aber halt immer nur fuer $x<n$, so dass das integral gleich 1 bleibt, denn
[mm] $\int f_n\, dx=\int_0^n 1/n\, [/mm] dx [mm] =1/n\cdot [/mm] n=1$
klarer?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
oh :-D
ja klar. Danke nochmals für die nächtliche Hilfe (...obwohl, wenn du in neuseeland gerade bist....)
Lieben Gruß, guido
|
|
|
|
