Limes/stetigkeit/Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f : [mm] [0,\infty) \to \IR [/mm] stetig mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = a . Zeige:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \integral_{o}^{x}{f(t) dt} [/mm] = a |
hehey,
mein zweites Semester hat grade begonnen und ich kann gewiss behaupten: Gott ich hab keine Ahnung. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? ich weiß nicht wie mans zeigt, aus der Stetigkeit heraus würd ich mit Folgenkonvergenz vlt was versuchen, nur hab ich noch nie sowas in Verbindung mit Integralen gemacht (bzw nie Limes von nem Integral gehabt ;P). Ich verstehe auch das dt nicht. wurde hier substituiert?
|
|
| |
|
Hallo,
was ich dir jetzt zeige ist sicher nicht die eleganteste Lösung, deswegen lasse ich die Frage auf halb beantwortet.
Zu zeigen ist:
[mm] $\left|\frac{1}{x}\int_{0}^x f(t) \ d t - a\right| \to [/mm] 0$ $(x [mm] \to \infty)$
[/mm]
Dazu:
[mm] $\left|\frac{1}{x}\int_{0}^x f(t) \ d t - a\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{x}\int_{0}^x f(t) - a \ d t \right| \le \frac{1}{|x|} \cdot \int_{0}^x [/mm] |f(t) - a| \ dt$.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig.
Weil [mm] $\lim_{x\to \infty} [/mm] f(x) = a$, gibt es [mm] $N\in\IN$ [/mm] so dass $|f(x) - a| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \ge [/mm] N$. Damit folgt (für $x [mm] \ge [/mm] N$)
[mm] $\le \frac{1}{|x|} \cdot \left( \int_{0}^{N} |f(t) - a| \ dt + \int_{N}^{x} \varepsilon \ dt\right)$.
[/mm]
Probier mal weiter 
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f : [mm][0,\infty) \to \IR[/mm] stetig mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = a . Zeige:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \integral_{o}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> = a
> hehey,
>
> mein zweites Semester hat grade begonnen und ich kann
> gewiss behaupten: Gott ich hab keine Ahnung. Kann mir
> jemand auf die Sprünge helfen? ich weiß nicht wie mans
> zeigt, aus der Stetigkeit heraus würd ich mit
> Folgenkonvergenz vlt was versuchen, nur hab ich noch nie
> sowas in Verbindung mit Integralen gemacht (bzw nie Limes
> von nem Integral gehabt ;P). Ich verstehe auch das dt
> nicht. wurde hier substituiert?
Stefans Methode finde ich auch sehr gut - da elementar (kennst Du übrigens den Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes (allgemeiner gibt's analoges in der Approximationstheorie: Stichwort etwa Cesaro-Mittel...)? Der da lautet: Aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ folgt [mm] $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k \to [/mm] a$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Siehst Du die Analogien?). Hier eine andere:
1. Fall: Der Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] ist klar (bzw. den kann man sich mehr oder weniger schnell klarmachen).
2. Fall: Sei [mm] $a\not=0\,.$ [/mm] Wegen de l'Hospital (Fall [mm] "$|\infty/\infty|$" $\leftarrow$ Begründung?) gilt mit $F(x):=\int_0^x f(t)dt$ und dem HDI
$$\lim_{x \to \infty}\frac{\int_0^xf(t)dt}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{F'(x)}{(x)'}=\lim_{x \to \infty}(f(x)/1)=\lim_{x \to \infty}f(x)=a\,.$$
Wobei ich befürchte: Ich habe wieder unnötigerweise de l'Hospital angewendet, und Fred sieht mal wieder, wie man das schneller ohne de l'Hospital hinschreiben kann!
Gruß,
Marcel
[/mm]
|
|
|
| |
|
huhu ,
erstmal danke für eure tollen Antworten ;)
zu deiner Vorgehensweise Marcel hätte ich da ein paar offene Fragen, wie z.b.
bezieht sich der limes auf den ganzen Term? ich mein dann müsste nach dem Limes die Multiplikation vom Ausdruck [mm] \bruch{1}{x} \* [/mm] das Integral in Klammern stehen oder?
Jedenfalls angenommen es gelte auch der Limes für die obere Integralgrenze x, dann ist mir klar, dass man einen Ausdruck [mm] \bruch{1}{\infty} \* \infty [/mm] hat.
Ich hab aber das Gefühl, dass man diesen Fall immer hat, auch bei a = 0 bzw wo ist da der Fallunterschied? a ist 0, wenn der Limes nur für [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gilt und nicht aufs Integral noch bezogen ist oder?
Liebe Grüße,
Eve
|
|
|
| |
|
Hallo,
> zu deiner Vorgehensweise Marcel hätte ich da ein paar
> offene Fragen, wie z.b.
>
> bezieht sich der limes auf den ganzen Term? ich mein dann
> müsste nach dem Limes die Multiplikation vom Ausdruck
> [mm]\bruch{1}{x} \*[/mm] das Integral in Klammern stehen oder?
Es wäre gut, wenn du zitieren könntest, worauf du dich mit dieser Frage beziehst. Ich sehe in Marcels Post nichts, wo so eine Multiplikation vorkommt [evtl. hat er das aber nachträglich noch geändert ]. Falls du aber den Bruch meinst:
[mm] $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{\int_{0}^{x} f(t) \ dt}{x}\right)$
[/mm]
Ja, der Limes bezieht sich sowohl auf Zähler als auch auf den Nenner.
Trotzdem ist es nicht sofort klar, warum das Integral dann gegen Unendlich geht.
Es ist so wegen [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) = a [mm] \not= [/mm] 0$. Das bedeutet nämlich, dass die Funktion f die ganze Zeit Werte in der Nähe von a annimmt und sich das Integral im Unendlichen in etwa wie a*x verhält.
> Ich hab aber das Gefühl, dass man diesen Fall immer hat,
> auch bei a = 0 bzw wo ist da der Fallunterschied?
Wenn a = 0 ist, kann man nicht begründen, dass das Integral für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] \pm\infty [/mm] geht. Beispielsweise ist $f(x) = [mm] e^{-x}$ [/mm] eine Funktion mit $f(x) [mm] \to [/mm] 0$ [mm] $(x\to \infty)$, [/mm] aber [mm] $\int_{0}^{x} [/mm] f(t) \ dt [mm] \to [/mm] 1$ [mm] $(x\to\infty)$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
ahh,
ich denke ich verstehe nicht ganz, warum [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) = a [mm] \not= [/mm] 0 $ gilt. Wieso kann a nicht 0 sein?
und du schriebst "Trotzdem ist es nicht sofort klar, warum das Integral dann gegen Unendlich geht. " .Wenn die obere Integralgrenze gegen [mm] \infty [/mm] strebt, wie kann das Integral dann nicht unendlich sein? wir haben ja keine konkrete Funktion hier, schon klar, aber da der Def.-bereich ja nur positiv ist, kann das Integral doch nur unendlich sein oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> ahh,
>
> ich denke ich verstehe nicht ganz, warum
> [mm]\lim_{x\to\infty}[/mm] f(x) = a [mm]\not=[/mm] 0 $ gilt. Wieso kann a
> nicht 0 sein?
a kann durchaus Null sein, deswegen muss man ja eine Fallunterscheidung machen!
Fall 1: $a = 0$
Fall 2: [mm] $a\not= [/mm] 0$.
Ich habe oben nur den Fall 2 angesprochen.
> und du schriebst "Trotzdem ist es nicht sofort klar, warum
> das Integral dann gegen Unendlich geht. " .Wenn die obere
> Integralgrenze gegen [mm]\infty[/mm] strebt, wie kann das Integral
> dann nicht unendlich sein? wir haben ja keine konkrete
> Funktion hier, schon klar, aber da der Def.-bereich ja nur
> positiv ist, kann das Integral doch nur unendlich sein
> oder?
Ich habe dir oben bereits mit $f(x) = [mm] e^{-x}$ [/mm] ein Beispiel gegeben, wo:
$f(x) [mm] \to [/mm] a = 0$ [mm] $(x\to\infty)$
[/mm]
und [mm] $\int_{0}^{x} [/mm] f(t) \ d t [mm] \to [/mm] 1 [mm] \not= \infty$ $(x\to\infty)$.
[/mm]
Wenn also $a = 0$ ist, muss das Integral nicht gegen unendlich gehen. Im Falle [mm] $a\not= [/mm] 0$ schon, aber auch das müsste man beweisen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
ich glaub ich hab die Lösung für a = 0!
wenn a = 0, dann muss ja die Stammfunktion von f(x) eine Konstante sein. Nennen wir sie mal k. dann hätten wir doch:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k}{x} [/mm] da k unabhängig ist vom Limes, bleibt der Zähler gleich und der Nenner immer größer, daher ist hier dann auch a = 0 ! ;)
warum jetzt das Integral gegen unendlich bin ich mir nicht sicher:
a> 0:
dann ist die Stammfunktion ja von der Form [mm] a\* [/mm] x, da die Ableitung von ax = a ist. dann hätten wir also den Ausdruck (so in etwa)
[mm] \bruch{ax}{x} [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> ich glaub ich hab die Lösung für a = 0!
> wenn a = 0, dann muss ja die Stammfunktion von f(x) eine
> Konstante sein.
nein, muss sie nicht. Und Du wirst im allgemeinen nicht zeigen können, dass im Falle [mm] $a=0\,$ [/mm] und $f(x) [mm] \to [/mm] a$ ($x [mm] \to \infty$) [/mm] auch [mm] $\int_0^x [/mm] f(t)dt [mm] \to [/mm] 0$ ($x [mm] \to \infty$) [/mm] geht. Das brauchen wir zum Glück aber auch nicht!
Also beachte, wir sind hier beim ersten Fall, also [mm] $a=0\,:$
[/mm]
Wir wollen hier [mm] $\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt \to 0\;\;(=a)$ [/mm] nachweisen (bei $x [mm] \to \infty$):
[/mm]
Begründe nun, dass die Funktion $F: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $F(x):=\int_0^x [/mm] f(t)dt$ BESCHRÄNKT ist (d.h. beweise: Es gibt eine Zahl $S > [mm] 0\,,$ [/mm] so, dass $|F(x)| [mm] \le [/mm] S$ für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt)! Folgere damit dann die Behauptung!
Korrektur: Die Beschränktheit von [mm] $F\,$ [/mm] läßt sich natürlich leider auch nicht nachweisen... Hier muss man doch zeigen, dass [mm] $|\frac{1}{x}\int_0^x [/mm] f(r)dr| < [mm] \epsilon$ [/mm] wird für [mm] $x\,$ [/mm] genügend groß!
Und den Fall $a [mm] \not=0$ [/mm] habe ich schon bewiesen - wobei ein Teil des Beweises noch zu tätigen ist (damit man die Anwendung von de l'Hospital auch rechtfertigen kann):
Im Falle $a [mm] \not=0$ [/mm] kann man erstmal o.E. annehmen, dass $a > 0$ sei (wieder überlasse ich Dir erstmal die Aufgabe, Dir zu überlegen, wie man den Fall $a < [mm] 0\,$ [/mm] mithilfe von Integrationsregeln auf den Fall $a > [mm] 0\,$ [/mm] zurückführen kann).
Beachte nun, dass ich hier ab dieser Stelle nur noch über den ANDEREN Fall $a [mm] \not=0$ [/mm] rede(!!):
Sei $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] o.E. nehmen wir $a > [mm] 0\,$ [/mm] an (s.o.). Dann gibt es sicher ein $t [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass $a-a/2 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] a+a/2$ für alle $x [mm] \ge [/mm] t$ gilt - insbesondere also $0 < a/2 [mm] \le [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \ge t\,.$
[/mm]
Nutze diese Abschätzung und [mm] $\int_0^x=\int_0^t+\int_t^x$ [/mm] für alle $x > t$ nun aus, um zu sehen, dass $F(x) [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] folgt.
P.S.
Natürlich taucht auch hier eine konstante Zahl auf - nur der entscheidende Unterschied ist, dass wir nicht [mm] $F=\text{konstant}$ [/mm] behaupten (was grober Unfug ist/wäre), sondern wir sagen, dass [mm] $f\,$ [/mm] ab einer gewissen Stelle sicher oberhalb einer konstanten Funktion liegt. Und das folgt dann per Definitionem von $f(x) [mm] \to [/mm] a$ im Falle $a > [mm] 0\,.$
[/mm]
Tipp:
Im Falle $a < 0$ gilt [mm] $\int_0^xf(t)dt=-\int_0^x(-f(t))dt\equiv:-\int_0^xg(t)dt\,,$ [/mm] und wenn [mm] $f(x)\to [/mm] a < 0$ ($x [mm] \to \infty$) [/mm] folgt $g(x)=-f(x) [mm] \to [/mm] -a > 0$ bei $x [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Etwa dies begründet dann, warum und wie man den Fall $a < [mm] 0\,$ [/mm] auf den Fall $a > [mm] 0\,$ [/mm] zurückführen kann.
Alternativ kann man auch das ganze Verfahren von oben analog betreiben... aber das mache ich nur, wenn's Dir wirklich gar nicht klar ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
neeein ich dachte ich hätte es ;/
ich solls zeigen |F(x)| [mm] \le [/mm] S ist. Da fällt mir die Lischitz Konstante ein. Wir wissen ja dass F(x) diffbar ist, da wir ja den Wert der Ableitung "kennen". dieser ist in unserem Fall 0, und 0 ist ja aber konstant und ist beschränkt (z.b. durch 0,1 ;P) . Daher gibt es halt nach Lipschitz ein L mit | F(x)| [mm] \le [/mm] L.
daraus folgere ich dann, dass:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x)}{x} \le \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{L}{x} \to [/mm] 0, x [mm] \to \infty [/mm] .
zum fall a ungleich 0:
wenn ich also [mm] \int_0^x=\int_0^t+\int_t^x [/mm] habe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \int_0^t+\int_t^x [/mm] )= [mm] \int_0^t [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \int_t^x
[/mm]
sprich ich habe eine Konstante davorgezogen, was mir erstmal wenig bringt. z.z. wäre nun, dass F(x)-F(t) [mm] \to \infty [/mm] geht, für x [mm] \to \infty
[/mm]
jetzt würd ich so argumentieren, dass t nicht vom Laufindes x abhängt, aber F(x) ins Unendliche steigt und somit - F(t) keine Rolle mehr spielt. Hier weiß ich nicht weiter:
man kann ja jetzt sehen, dass F(x) > 0 ist und es fehlt wahrscheinlich noch zu zeigen, dass es mon. wachsend ist, allerdings wüsst ich nicht wie ;/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> neeein ich dachte ich hätte es ;/
>
> ich solls zeigen |F(x)| [mm]\le[/mm] S ist. Da fällt mir die
> Lischitz Konstante ein. Wir wissen ja dass F(x) diffbar
> ist, da wir ja den Wert der Ableitung "kennen". dieser ist
> in unserem Fall 0
ab hier wird's schon falsch, daher habe ich den Rest nicht weitergelesen. Bitte beachte, dass das Unfug ist (folgendes meine ich bei $x [mm] \to \infty$):
[/mm]
Z.B. gilt [mm] $\frac{1}{x}\sin(x) \to 0\,,$ [/mm] und dennoch ist hier die Ableitung nicht stets [mm] $0\,.$
[/mm]
Du willst auch immer auf etwas besonderes heraus - irgendwas spezielles folgern, was Dir hilft. Denke doch nicht so kompliziert, die Sache ist eigentlich sehr einfach:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Aus $f(x) [mm] \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] folgt die Existenz eines [mm] $t=t(\epsilon) \ge [/mm] 0$ mit [mm] $-\epsilon/2 \le [/mm] f(x) [mm] \le \epsilon/2$ [/mm] für alle $x [mm] \ge t\,,$ [/mm] so dass für alle $x > [mm] t\,$ [/mm] folgt
[mm] $$\int_t^x (-\epsilon/2)dr \le \int_t^x [/mm] f(r)dr [mm] \le \int_t^x (\epsilon/2)dr\,.$$
[/mm]
Wie kann man [mm] $\int_t^x (\epsilon/2)dr$ [/mm] einfach umschreiben?
Addiere nun auf diese Ungleichungskette [mm] $K=K(t):=\int_0^t [/mm] f(r)dr$ überall dazu.
Beachte:
Falls es zwei Zahlen [mm] $r_1,r_2 \in \IR$ [/mm] so gibt, dass für alle $x [mm] \in D_f$ [/mm] dann folgt
[mm] $$r_1 \le [/mm] f(x) [mm] \le r_2\,,$$
[/mm]
dann gibt es auch ein $S > 0$ so, dass $|f(x)| [mm] \le [/mm] S$ (oder auch [mm] $
P.S.
Hier muss man nicht [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig sein lassen. Wir wollen ja nur die Beschränktheit von [mm] $F\,,$ [/mm] d.h. oben kannst Du durchaus auch ein spezielles [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ erstmal wählen, also die Argumentation mit speziell [mm] $\epsilon=1\,$ [/mm] durchziehen.
Vergiss' diesen Ansatz: Mir ist gerade selbst bewußt geworden, dass wir gar nicht zeigen können, dass [mm] $\int_0^x [/mm] f(r)dr$ beschränkt ist. Wir müssen DOCH so vorgehen, dass wir zeigen, dass [mm] $|1/x\;\int_0^x [/mm] f(r)dr| < [mm] \epsilon$ [/mm] wird, bei vorgegebenem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und dann für alle genügend große [mm] $x\,.$ [/mm] Dazu kannst Du natürlich doch nochmal oben in die Abschätzungen reingucken, aber lasse das [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, und teile nachher durch $x > [mm] 0\,$ [/mm] genügend groß.
P.P.S.
Lipschitztstetigkeit braucht man hier nicht wirklich, aber die ist auch vorhanden:
Wegen $f(x) [mm] \to [/mm] a$ und der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] argumentiert man, dass [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt ist. Nach dem HDI gilt [mm] $F'=f\,,$ [/mm] so dass $F'$ beschränkt ist. Der MWS zeigt dann die Lipschitz- (und damit auch die glm. und die pktw.) Stetigkeit von [mm] $F\,.$
[/mm]
Aber was bringt das? Es gibt doch Lipschitzstetige Funktionen [mm] $[0,\infty) \to \IR\,,$ [/mm] die in trivialer Weise dennoch unbeschränkt sind:
Nimm' etwa $x [mm] \mapsto x\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
übrigens nochmal eine "übersichtlichere Variante" wie bei Stefans Vorgehensweise (alles wieder bei $x [mm] \to \infty$):
[/mm]
1. Fall: Wir betrachten $f(x) [mm] \to a\,$ [/mm] im Falle [mm] $a=0\,.$ [/mm] Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $t=t(\epsilon) \in \IR$ [/mm] mit $|f(x)| [mm] \le \frac{\epsilon}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \ge t\,,$ [/mm] daher folgt für alle $x > [mm] t\,$
[/mm]
[mm] $$|\int_0^x [/mm] f(r)dr| [mm] \le \int_0^t|f(r)|dr +\int_t^x (\epsilon/2)dr \equiv: K+\frac{(x-t)\epsilon}{2} \le K+x*\frac{\epsilon}{2}\,,$$
[/mm]
mit einer konstanten $K=K(t) [mm] \ge 0\,.$ [/mm] (Genauer habe ich [mm] $K\,$ [/mm] oben mittels des Zeichens [mm] $\equiv$ [/mm] definiert: [mm] $K=K(t)=\int_0^t|f(r)|dr\,.$) [/mm] Was folgt nun nach Division durch $x > 0$ "genügend groß"?
2. Fall: Gelte $f(x) [mm] \to a\not=0\,.$ [/mm] Betrachte nun
[mm] $$\frac{1}{x}\int_0^xg(r)dr$$
[/mm]
bei $x [mm] \to \infty\,,$ [/mm] wobei $g(x):=f(x)-a$ für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gesetzt sei.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
