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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 16.12.2007 | | Autor: | Etharina |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{4x² + 2x - 1} [/mm] - 2x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorweg: Bei mir heisst es eigentlich x -> [mm] \infty [/mm] und net n... keien Ahnung ob das n irgendwas besonderes ist oder einfach nur eine andere Variable.
Zu dieser Aufgabe ist folgendes zu sagen meinereits:
Wenn man sie so angeht, wie sie da steht, kann man machen
was man will: die wurzel bekommt man nicht weg. Und deshalb laufen Minuend und Subtrahent in unterschiedliche richtungen.
Also ich dachte mir:
1. ich erweitere auf die 3. binom. Formel, also mit: [mm] \wurzel{4x² + 2x -1} [/mm] + 2x
2. ich klammere aus der unteren wurzel 4x² aus und schreibe es ausserhalb der wurzel
Term bis jetzt: [mm] \bruch{2x - 1}{2x * \wurzel{1 + \bruch{2}{4x} - \bruch{1}{4x²}} + 2x}
[/mm]
Wenn x -> [mm] \infty [/mm] gehn die 2 brüche innerhalb der wurzel unten ja gegen 0 also bleibt unter der wurzel quasi 1 stehen, also geht die untere klammer gegen zwei.
[ Bei diesem letzteren schritt bin ich mir aber net sicher ob das korrekt ist... ]
wenn ich also die klammer gegen 2 habe, habe ich ja quasi:
[mm] \bruch{2x - 1}{4x}
[/mm]
jetzt noch eine polynom division udn es kommt heraus:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4x}
[/mm]
wenn x -> [mm] \infty [/mm] geht [mm] \bruch{1}{4x} [/mm] gegen 0
der grenzwert sollte also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] entsprechen
Es wäre nett wenn ihr mir sagen könntet ob alle meine schritte logisch und richtig sind. Und ob man das auch so schreiben kann.
Danke im Voraus.
Greetz
Etha
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> [mm]\limes_{\red{n}\rightarrow\infty} \wurzel{4x² + 2x - 1}[/mm] - 2x
Ich nehme an, dass dies ist ein Schreibfehler ist und die Aufgabe statt dessen wie folgt lauten:
[mm]\lim_{\red{x}\rightarrow \infty}\sqrt{4x^2+2x-1}-2x[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vorweg: Bei mir heisst es eigentlich x -> [mm]\infty[/mm] und net
> n... keien Ahnung ob das n irgendwas besonderes ist oder
> einfach nur eine andere Variable.
>
> Zu dieser Aufgabe ist folgendes zu sagen meinereits:
> Wenn man sie so angeht, wie sie da steht, kann man machen
> was man will: die wurzel bekommt man nicht weg. Und deshalb
> laufen Minuend und Subtrahent in unterschiedliche
> richtungen.
>
> Also ich dachte mir:
> 1. ich erweitere auf die 3. binom. Formel, also mit:
> [mm]\wurzel{4x² + 2x -1}[/mm] + 2x
> 2. ich klammere aus der unteren wurzel 4x² aus und
> schreibe es ausserhalb der wurzel
> Term bis jetzt: [mm]\bruch{2x - 1}{2x * \wurzel{1 + \bruch{2}{4x} - \bruch{1}{4x²}} + 2x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn x -> [mm]\infty[/mm] gehn die 2 brüche innerhalb der wurzel
> unten ja gegen 0 also bleibt unter der wurzel quasi 1
> stehen, also geht die untere klammer gegen zwei.
> [ Bei diesem letzteren schritt bin ich mir aber net sicher
> ob das korrekt ist... ]
Etwas problematisch scheint mir dies auch: weil noch der Faktor $2x$ vor der Wurzel steht und der ja bei diesem Grenzübergang [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] nicht gegen eine eigentliche reelle Zahl geht. Aus diesem Grunde würde ich zuerst noch Zähler und Nenner durch $x$ dividieren. Ergibt:
[mm]\frac{2-\frac{1}{x}}{2\sqrt{1+\frac{2}{4x}-\frac{1}{4x^2}}+2}[/mm]
In dieser Form kann man dann argumentieren, dass der Nenner für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $4$ und der Zähler gegen $2$ konvergiert, also der ganze Bruch gegen [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
> wenn ich also die klammer gegen 2 habe, habe ich ja
> quasi:
> [mm]\bruch{2x - 1}{4x}[/mm]
Du kommst zwar auf diesem Weg zum richtigen Ergebnis, es ist aber streng genommen nicht ganz koscher, dass Du den Term [mm] $\sqrt{1+\frac{2}{4x}-\frac{1}{4x^2}}$ [/mm] kurzerhand durch $1$ ersetzt, bevor der Grenzübergang [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] effektiv durchgeführt wurde.
> der grenzwert sollte also [mm]\bruch{1}{2}[/mm] entsprechen
Aber unter dem oben breitgeschlagenen Vorbehalt des "nicht ganz koscher seins"...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 So 16.12.2007 | | Autor: | Etharina |
genau das war das, was mich an diesem Schritt so störte ^^
Vielen dank für deine sehr gute udn schnelle Korrektur und für die Umgehung meines kleinen nicht ganz koscheren Schrittes...
Ich bedanke mich nochmals recht herzlich und freu mich in diesem forum aktiv zu werden.
(kleine Randbemerkung: ich hatte eine relativ kurze zeit angegeben, das kommt daher dass ich die aufgabe gestern nacht auf dem papier gelöst hab und jetzt heute nach dem aufstehen eine korrekur meinung bevorzugte. Da ich die aufgabe aber mrogen diskutieren will, brauchte ich aber ne antwort bis heute abend so dass ich evtl nochmal selber mir 2 stunden zeit nehmen kann)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 16.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> genau das war das, was mich an diesem Schritt so störte ^^
Was beweist, dass Du für diese Grenzwertsachen bereits eine recht präzise Intuition entwickelt hast...
>
> Vielen dank für deine sehr gute udn schnelle Korrektur und
> für die Umgehung meines kleinen nicht ganz koscheren
> Schrittes...
>
> Ich bedanke mich nochmals recht herzlich und freu mich in
> diesem forum aktiv zu werden.
Wir freuen uns auch - ich freue mich jedenfalls.
> (kleine Randbemerkung: ich hatte eine relativ kurze zeit
> angegeben, das kommt daher dass
Was mich betrifft, brauchst Du Dich nicht zu entschuldigen: denn ich hatte überhaupt nicht auf Deine Zeitvorgabe geachtet, sondern reagierte nur auf eine Frage, die (für mich) genügend einfach und klar formuliert war 
> ich die aufgabe gestern
> nacht auf dem papier gelöst hab und jetzt heute nach dem
> aufstehen eine korrekur meinung bevorzugte. Da ich die
> aufgabe aber mrogen diskutieren will, brauchte ich aber ne
> antwort bis heute abend so dass ich evtl nochmal selber mir
> 2 stunden zeit nehmen kann)
Schon gut: sehr berechtigtes Anliegen, versteht sich.
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