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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 24.01.2011 | | Autor: | sarte |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2\pi}{n}* \bruch{sin(\bruch{2(n+1))*\pi}{2n})}{sin(\bruch{2\pi}{2n})} [/mm] |
Hi Leute,
ich hab eine kleines Problem den Grenzwert dieser Funktion zu berechnen...
Ich hab gezeigt, dass da 0 / 0 entsteht und ich den Hospital anwenden kann, aber ich komme schon bei der ersten Ableitung nicht klar. Nehmen wir z.B. den Nenner da kommt raus: [mm] \bruch{-\pi*cos(\bruch{\pi}{n})}{n^2} [/mm] und im Nenner kommt somit immer 0 raus und bei den weiteren Ableitungen auch...
Ich weiß aber das der Grenzwert 0 sein muss, vielleicht hab ich irgendwo einen Denkfehler... Kann mir jemand bitte helfen?
Philipp
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Hallo Philipp,
sorry, just als ich "antworten" klicke, klingelte das Tel., daher die Verzögerung ...
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2\pi}{n}* \bruch{sin(\bruch{2(n+1))*\pi}{2n})}{sin(\bruch{2\pi}{2n})}[/mm]
>
>
> Hi Leute,
> ich hab eine kleines Problem den Grenzwert dieser Funktion
> zu berechnen...
> Ich hab gezeigt, dass da 0 / 0 entsteht
Das stimmt nicht!
Der Zähler geht gegen 0, das ist klar, aber der Nenner geht gegen [mm]\pi[/mm]
Wenn du dir den Nenner separat anguckst, hast du
[mm]n\cdot{}\sin\left(\frac{2\pi}{2n}\right)[/mm]
Das strebt bei direktem Grenzübergang gegen [mm]\infty\cdot{}0[/mm], also einen unbestimmten Ausdruck.
Schreibe es um: [mm]n\cdot{}\sin\left(\frac{2\pi}{2n}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{2n}\right)}{\frac{1}{n}}[/mm]
Das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Hier kannst du de l'Hôpital anwenden --> [mm]\frac{-\frac{\pi\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}}=\pi\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)[/mm]
Und das geht gegen [mm]\pi[/mm]
Der Nenner geht also gegen [mm]\pi[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], der Zähler gegen 0
Damit geht der Bruch insgesamt gegen [mm]\frac{0}{\pi}=0[/mm]
> und ich den
> Hospital anwenden kann,
Nee, so ohne weiteres nicht ...
> aber ich komme schon bei der ersten
> Ableitung nicht klar. Nehmen wir z.B. den Nenner da kommt
> raus: [mm]\bruch{-\pi*cos(\bruch{\pi}{n})}{n^2}[/mm] und im Nenner
> kommt somit immer 0 raus und bei den weiteren Ableitungen
> auch...
>
> Ich weiß aber das der Grenzwert 0 sein muss, vielleicht
> hab ich irgendwo einen Denkfehler... Kann mir jemand bitte
> helfen?
>
> Philipp
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Mo 24.01.2011 | | Autor: | sarte |
Ah perfekt danke
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