Limes in L^2 / punktweise Konv < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Von einer Funktionenfolge [mm] $f_n \in L^2(\Omega)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] sei bekannt, dass es $f [mm] \in L^2(\Omega)$ [/mm] gibt mit [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_{L^2} \to [/mm] 0$. Außerdem gebe es $g: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_n \to [/mm] g$ punktweise.
Zeige f = g fast überall.
(Alle [mm] $L^2$ [/mm] - Räume sind bzgl. eines Wahrscheinlichkeitsmaßes zu verstehen und das "fast überall" auch) |
Hallo,
gibt es ein einfaches Argument, um f = g fast überall zu zeigen?
Ich habe einen Satz (Riesz-Fischer?) gefunden, der mir aus [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_{L^2} \to [/mm] 0$ liefert: Es gibt eine Teilfolge [mm] $f_{n_k} \to [/mm] f$ fast überall. Damit würde ja dann die Behauptung folgen.
Aber der Satz scheint nicht so einfach zu beweisen zu sein. Da ich doch schon beide Grenzfunktionen und Konvergenzen kenne, müsste es doch einen einfacheren Weg geben?
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stephan,
in letzter Zeit wenig on und deine Frage daher eben erst gesehen.
Auch nicht viel Zeit, daher kurz und knapp:
$0 [mm] \le E\left[(f-g)^2\right] [/mm] = [mm] E\left[(f-\liminf_{n\to\infty} f_n)^2\right] \le \liminf_{n\to\infty} E\left[(f-f_n)^2\right] [/mm] = 0$
MFG,
Gono.
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Hi Gonozal,
danke! Das gefällt mir :)
Stefan
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