Limes einer rekursiven Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a, b [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] sei wie folgt rekursiv definiert:
[mm] a_0 [/mm] := a, [mm] a_1 [/mm] := b, [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}(a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-20}) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Man beweise, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
Hallo allerseits!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich vermute, dass diese Folge gegen [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] konvergiert, weiss aber nicht wie ich das beweisen soll.
Zur Begründung meiner Vermutung:
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \bruch{a + b}{2}
[/mm]
[mm] a_3 [/mm] = [mm] \bruch{a + 2b}{4}
[/mm]
[mm] a_4 [/mm] = [mm] \bruch{3a + 4b}{8}
[/mm]
[mm] a_5 [/mm] = [mm] \bruch{5a + 8b}{16}
[/mm]
[mm] a_6 [/mm] = [mm] \bruch{11a + 16b}{32}
[/mm]
Mit vollständiger Induktion zeigt man, dass im Nenner stets [mm] 2^{n-1} [/mm] steht.
Also ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{xa + yb}{2^{n-1}} [/mm] < [mm] \bruch{y * (a+b)}{2^{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n-2}*(a+b)}{2^{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{2}
[/mm]
Die Ungleichung gilt, da x < y ist, und x*a durch y*a in dem Term ersetzt wird.
[mm] \bruch{y * (a+b)}{2^{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n-2}*(a+b)}{2^{n-1}} [/mm] gilt,
da bei [mm] a_n [/mm] y den Wert [mm] 2^{n-2} [/mm] hat (sieht man wieder durch vollständige Induktion).
Somit ist [mm] a_n [/mm] also durch [mm] \bruch{a + b}{2} [/mm] beschränkt.
Leider bin ich ratlos wie ich jetzt den Grenzwert berechnen kann.
Wie kann ich zeigen, dass [mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{a + b}{2}| \le \varepsilon [/mm] wird für genügend großes n?
Vielen Dank schonmal im Vorraus! :)
Benjamin
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Hallo Benjamin,
> Ich vermute, dass diese Folge gegen [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
> konvergiert, weiss aber nicht wie ich das beweisen soll.
Ich vermute dagegen, dass die Folge gegen [mm] \bruch{a+2b}{3} [/mm] konvergiert.
> Zur Begründung meiner Vermutung:
>
> [mm]a_2[/mm] = [mm]\bruch{a + b}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]a_3[/mm] = [mm]\bruch{a + 2b}{4}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] a_3=\bruch{a+3b}{4}
[/mm]
Das hat Auswirkungen auf die folgenden...
> [mm]a_4[/mm] = [mm]\bruch{3a + \red{5}b}{8}[/mm]
>
> [mm]a_5[/mm] = [mm]\bruch{5a + \red{11}b}{16}[/mm]
>
> [mm]a_6[/mm] = [mm]\bruch{11a + \red{21}b}{32}[/mm]
[mm] a_7=\bruch{21a + \red{43}b}{64}
[/mm]
[mm] a_8=\bruch{43a + \red{85}b}{128}
[/mm]
[mm] a_9=\bruch{85a + \red{171}b}{256}
[/mm]
Fällt Dir etwas an den Koeffizienten von a und b auf?
Nennen wir die Koeffizienten [mm] \alpha_i [/mm] und [mm] \beta_i. [/mm] Kannst Du sie allgemein bestimmen (egal ob Du den Nenner mit hineinziehst oder nicht - der Nenner ist ja leicht)?
Wenn Du dafür eine allgemeine Formel hast, ist die Bestimmung des Grenzwerts nicht mehr weit.
Wenn Du nur Formeln für [mm] a_{2k}\mapsto a_{2k+1} [/mm] und für [mm] a_{2m-1}\mapsto a_{2m} [/mm] findest, ist das auch ok.
Dann musst Du den Grenzwert zwar zweimal zeigen, wirst aber feststellen, dass es der gleiche ist.
> Mit vollständiger Induktion zeigt man, dass im Nenner stets
> [mm]2^{n-1}[/mm] steht.
>
> Also ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{xa + yb}{2^{n-1}}[/mm] < [mm]\bruch{y * (a+b)}{2^{n-1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2^{n-2}*(a+b)}{2^{n-1}}[/mm] = [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
>
> Die Ungleichung gilt, da x < y ist, und x*a durch y*a in
> dem Term ersetzt wird.
>
> [mm]\bruch{y * (a+b)}{2^{n-1}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n-2}*(a+b)}{2^{n-1}}[/mm]
> gilt,
> da bei [mm]a_n[/mm] y den Wert [mm]2^{n-2}[/mm] hat (sieht man wieder durch
> vollständige Induktion).
>
> Somit ist [mm]a_n[/mm] also durch [mm]\bruch{a + b}{2}[/mm] beschränkt.
> Leider bin ich ratlos wie ich jetzt den Grenzwert
> berechnen kann.
>
> Wie kann ich zeigen, dass [mm]|a_n[/mm] - [mm]\bruch{a + b}{2}| \le \varepsilon[/mm]
> wird für genügend großes n?
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus! :)
> Benjamin
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Benjamin,
>
> > Ich vermute, dass diese Folge gegen [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
> > konvergiert, weiss aber nicht wie ich das beweisen soll.
>
> Ich vermute dagegen, dass die Folge gegen [mm]\bruch{a+2b}{3}[/mm]
> konvergiert.
>
> > Zur Begründung meiner Vermutung:
> >
> > [mm]a_2[/mm] = [mm]\bruch{a + b}{2}[/mm]
> >
> > [mm]a_3[/mm] = [mm]\bruch{a + 2b}{4}[/mm]
>
> [mm]a_3=\bruch{a+3b}{4}[/mm]
>
> Das hat Auswirkungen auf die folgenden...
>
> > [mm]a_4[/mm] = [mm]\bruch{3a + \red{5}b}{8}[/mm]
> >
> > [mm]a_5[/mm] = [mm]\bruch{5a + \red{11}b}{16}[/mm]
> >
> > [mm]a_6[/mm] = [mm]\bruch{11a + \red{21}b}{32}[/mm]
>
> [mm]a_7=\bruch{21a + \red{43}b}{64}[/mm]
>
> [mm]a_8=\bruch{43a + \red{85}b}{128}[/mm]
>
> [mm]a_9=\bruch{85a + \red{171}b}{256}[/mm]
>
> Fällt Dir etwas an den Koeffizienten von a und b auf?
> Nennen wir die Koeffizienten [mm]\alpha_i[/mm] und [mm]\beta_i.[/mm] Kannst
> Du sie allgemein bestimmen (egal ob Du den Nenner mit
> hineinziehst oder nicht - der Nenner ist ja leicht)?
nur mal als Hinweis:
Wenn man [mm] $a_n=\frac{\alpha_n a+\beta_n b}{2^{n-1}}$ [/mm] ansetzt und eine Formel für [mm] $\alpha_n$ [/mm] kennt, dann scheint sich hier doch auch die Beziehung
[mm] $$\alpha_n+\beta_n=2^{n-1} \;\;(n \in \IN)$$
[/mm]
beweisen zu lassen. Also wenn man [mm] $(\alpha_n)_n$ [/mm] kennt, liegt es nahe, zu vermuten, wie [mm] $(\beta_n)_n$ [/mm] wohl aussehen wird und dann führt man dafür einen Beweis über Induktion.
Analog, wenn man zunächst eine Formel für [mm] $(\beta_n)_n$ [/mm] beweist...
Und vll. noch ein Tipp zum Schema der [mm] $\alpha_n$:
[/mm]
Es war ja
[mm] $\alpha_2=1\,,$ $\alpha_3=1\,,$ $\alpha_4=3\,,$ $\alpha_5=5\,,$ $\alpha_6=11\,,$ [/mm] ...
Schema:
Abwechselnd kommen anscheinend die Vorschriften [mm] $\alpha_n=2*\alpha_{n-1}-1$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha_n=2\alpha_{n-1}+1\,$ [/mm] zu tragen, oder noch besser gesagt:
[mm] $$\alpha_{n+1}=2*\alpha_n+(-1)^n\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo!
Vielen Dank ersteinmal für die schnelle Hilfe!
Ich habe jetzt eine geschlossene Formel für alle [mm] \alpha_n [/mm] gefunden.
Da [mm] \beta_n [/mm] = [mm] \alpha_{n+1} [/mm] und [mm] \alpha_n [/mm] + [mm] \beta_n [/mm] = [mm] 2^{n-1}
[/mm]
sowie [mm] \alpha_{n+1} [/mm] = 2 * [mm] \alpha_n [/mm] + [mm] (-1)^{n-1} [/mm] folgt also, dass
[mm] \alpha_n [/mm] = [mm] \bruch{2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}.
[/mm]
Also ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3} * a + \bruch{2^{n} + (-1)^{n}}{3} * b}{2^{n-1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{a + 2b}{3} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{n-1}a + (-1)^{n}b}{3 * 2^{n-1}}.
[/mm]
Nun geht der zweite Summand für n gegen unendlich gegen 0, und die Folge konvergiert gegen [mm] \bruch{a + 2b}{3}.
[/mm]
Ist das richtig begründet?
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Hallo Benjamin,
das sieht gut aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Für die Nachvollziehbarkeit wäre es noch hilfreich, wenn Du den ersten Teil etwas kleinschrittiger darstelltest:
> Da [mm]\beta_n[/mm] = [mm]\alpha_{n+1}[/mm] und [mm]\alpha_n[/mm] + [mm]\beta_n[/mm] = [mm]2^{n-1}[/mm]
> sowie [mm]\alpha_{n+1}[/mm] = 2 * [mm]\alpha_n[/mm] + [mm](-1)^{n-1}[/mm] folgt also,
> dass
>
> [mm]\alpha_n[/mm] = [mm]\bruch{2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}.[/mm]
Bis hier. Die beiden vorausgesetzten Formeln musst Du begründen (was z.T. andernorts in dieser Diskussion ja schon vorkam), und der Schritt zur hier letztgenannten Formel ist zwar nachzurechnen, aber ohne eigene Rechnung nicht unmittelbar einsichtig.
Ansonsten: alles richtig gelöst - Glückwunsch!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Benjamin,
>
> das sieht gut aus.
>
> Für die Nachvollziehbarkeit wäre es noch hilfreich, wenn Du
> den ersten Teil etwas kleinschrittiger darstelltest:
>
> > Da [mm]\beta_n[/mm] = [mm]\alpha_{n+1}[/mm] und [mm]\alpha_n[/mm] + [mm]\beta_n[/mm] = [mm]2^{n-1}[/mm]
> > sowie [mm]\alpha_{n+1}[/mm] = 2 * [mm]\alpha_n[/mm] + [mm](-1)^{n-1}[/mm] folgt
> also,
> > dass
> >
> > [mm]\alpha_n[/mm] = [mm]\bruch{2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}.[/mm]
>
> Bis hier. Die beiden vorausgesetzten Formeln musst Du
> begründen (was z.T. andernorts in dieser Diskussion ja
> schon vorkam), und der Schritt zur hier letztgenannten
> Formel ist zwar nachzurechnen, aber ohne eigene Rechnung
> nicht unmittelbar einsichtig.
ich habe die Aufgabe jetzt nicht 'komplett' kontrolliert bzw. gerechnet, aber nur als Ergänzung für Benjamin:
Mit begründen ist natürlich nichts anderes als beweisen gemeint, aber ich denke, dass das klar ist. Ob man das nun mit bereits bewiesenen bzw. gängigen Formeln durchführen kann wäre natürlich einer Überprüfung wert. Aber notfalls, d.h. wenn alle Stricke reißen, wie auch schon oben angedeutet, probiert man einfach mal:
Induktion 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:15 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a, b [mm]\in \IR.[/mm]
> [mm](a_n)[/mm] sei wie folgt rekursiv definiert:
> [mm]a_0[/mm] := a, [mm]a_1[/mm] := b, [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}(a_{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-20})[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Man beweise, dass [mm](a_n)[/mm] konvergiert und bestimme ihren
> Grenzwert.
> Hallo allerseits!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich vermute, dass diese Folge gegen [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
> konvergiert, weiss aber nicht wie ich das beweisen soll.
>
> Zur Begründung meiner Vermutung:
>
> [mm]a_2[/mm] = [mm]\bruch{a + b}{2}[/mm]
>
> [mm]a_3[/mm] = [mm]\bruch{a + 2b}{4}[/mm]
>
> [mm]a_4[/mm] = [mm]\bruch{3a + 4b}{8}[/mm]
>
> [mm]a_5[/mm] = [mm]\bruch{5a + 8b}{16}[/mm]
>
> [mm]a_6[/mm] = [mm]\bruch{11a + 16b}{32}[/mm]
>
> Mit vollständiger Induktion zeigt man, dass im Nenner stets
> [mm]2^{n-1}[/mm] steht.
>
> Also ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{xa + yb}{2^{n-1}}[/mm] < [mm]\bruch{y * (a+b)}{2^{n-1}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n-2}*(a+b)}{2^{n-1}}[/mm] = [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
>
> Die Ungleichung gilt, da x < y ist, und x*a durch y*a in
> dem Term ersetzt wird.
die Ungleichung ist i.a. falsch, auch wenn $x < y$ ist. Setze mal $x=1$ und $y=2$ sowie $a=-1$ und $b=-2$ ein, dann wäre
[mm] $$xa+yb=-1-4=-5\,,$$
[/mm]
aber
$$y*(a+b)=2*(-3)=-6 < [mm] -5=xa+yb\,.$$
[/mm]
Also:
Bei Abschätzungen immer auf Vorzeichen der Variablen achten!
Gruß,
Marcel
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